teubner numerische mathematik

Diesem Buch liegen verschiedene Grund-und Spezialvorlesungen zur Theorie und Numerik der Optimierung, welche die Autoren in den zurückliegenden Jahren an der Technischen Universität Dresden vorrangig für Studenten der Mathematik ge­ halten haben, zugrunde. Ebenso sind Erfahrungen aus Gastlehrtätigkeiten an an­ deren Universitäten, insbesondere an der Universität Kuwait, eingeflossen. Das vorliegende Manuskript entstand aus dem Bedürfnis heraus, den Studieren­ den, aber auch mathematisch interessierten Naturwissenschaftlern und Ingenieuren ein Lehrbuch zur Verfügung zu stellen, in dem gemeinsam wesentliche Grundprin­ zipien für unterschiedliche Klassen von Optimierungsaufgaben behandelt werden. Dabei umfaßt das Spektrum der einbezogenen Probleme optimierungstheoretische Fragen, wie Existenz und Charakterisierung von Optima, Hauptlinien der algorith­ mischen Behandlung stetiger und diskreter Optimierungsprobleme bis hin zu spe­ ziellen Fragen, wie z.B. Dekompositionstechniken zur Berücksichtigung problem­ spezifischer Strukturen. Das Buch widmet sich schwerpunktmäßig endlichdimensionalen stetigen und diskreten Optimierungsproblemen, zeigt aber auch Verallgemeinerungen zu Auf­ gaben in Funktionenräumen auf. Dabei wird im Unterschied zu existierenden Lehrbüchern, bei denen endlichdimensionale Probleme als Spezialfall abstrakter Aufgaben mit skizziert werden, hier exemplarisch eine Sicht von den endlichdimen­ sionalen Problemen ausgehend auf die abstrakten Aufgaben angestrebt. Insbeson­ dere sollen damit auch Verbindungen der Numerik der Optimierung zu anderen mathematischen Spezialgebieten, wie z.B. zur Methode der Finiten Elemente und zur Diskretisierung von Variationsungleichungen aufgezeigt werden.

Die Konzepte numerischer Verfahren auf modernen Parallel- und Vektorrechnern stehen im Mittelpunkt dieser neuen Einführung. Studierenden und Anwendern der Bereiche Mathematik, Natur- und Ingenieurwissenschaften und Informatik werden die erforderlichen Kenntnisse und Fähigkeiten vermittelt, die eine effiziente Nutzung paralleler Strukturen in numerischen Anwendungen ermöglichen.

Hauptziel des vorliegenden zweiten Teils der Numerik von An fangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen ist es, die heute zur Verfügung stehenden Verfahren einschließ lich ihrer mathematischen Behandlung darzustellen. Dementsprechend ist wie im ersten auch in diesem Teil der Versuch unternommen worden, die wirkungsweise der Verfahren allein, in meist gesonderten Abschnitten, zu beschreiben, die losgelöst von den detaillierteren mathematischen Untersuchun gen verstanden werden können und insbesondere auch für den vorwiegend anwendungsorientierten Leser gedacht sind. In den anderen Passagen des Buches ist dann soweit wie möglich das Studium der mathematischen Eigenschaften der Verfahren vorge nommen worden. Wenn die Durchführung eines solchen Programms auch nur unter Beschränkungen in der Stoffauswahl möglich ist, so ist doch versucht worden, die heute gängigen Verfahren, auch speziell für die sog. steifen Differentialgleichungssysteme, aufzu nehmen. Auch die in den letzten Jahren in Gang gekommene Ver wendung von Mehrschrittverfahren mit variablen Schrittweiten ist berücksichtigt worden. Ebenso werden Verfahren für Syste me höherer Ordnung mit Möglichkeiten der Reduzierung des Rundungsfehlereinflusses dargestellt. Die mathematische Analyse ist so angelegt worden, daß damit möglichst auch die in der Praxis Verwendung findenden Ver fahren er faßt werden. Demgemäß sind die Stabilitätsfragen ausführlich behandelt worden. Konvergenzuntersuchungen werde~ wenigstens ansatzweise, für variable Schrittweiten vorgenom men, bei Systemen höherer Ordnung auch für die Differenzen quotienten bis zur Ordnung der Differentialgleichung. Eingang gefunden haben auch asymptotische Entwicklungen und neuere Ergebnisse über optimaleFehlerabschätzungen.

Da seit dem Erscheinen der ersten Auflage mehr als ein Dutzend Jahre vergangen sind, machte sich eine gründliche Überarbeitung des Bandes nötig. Das Kapitel "Gleichungssy steme" wurde erweitert durch Ausführungen zur Lösung von tridiagonalen linearen Glei chungssystemen; die Ausführungen zur Interpolation wurden stark verändert; der Ab schnitt "Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen" wurde völlig neu verfaßt. Die moderne Entwicklung und der weitverbreitete Einsatz von elektronischen Rechen anlagen (Computern) üben starken Einfluß auf die numerische Mathematik aus. Zwischen numerischer Mathematik und Informatik haben sich enge Wechselbeziehungen entwik kelt. Die moderne Rechentechnik hat neue Maßstäbe in der Wertung und Einschätzung numerischer Verfahren gebracht, Einfluß auf die theoretische Weiterentwicklung der nu merischen Mathematik genommen, in großem Umfang zur Weiter-und Neuentwicklung numerischer Algorithmen geführt und es ermöglicht, immer größere und komplexere Pro bleme in Angriff zu nehmen. Dieser Entwicklung wurde bei der Überarbeitung dieses Bandes zum Beispiel bei der Auswahl der Verfahren und durch die relativ gründliche Be handlung von Stabilitätsfragen Rechnung getragen. Die Autoren versuchen der legitimen Forderung nach Querverbindungen zur Informatik auch dadurch nachzukommen, daß an das Ende jedes Kapitels ein Abschnitt "Programmierung und Software" angefügt wurde. Für drei ausgewählte grundlegende Verfahren werden Programmablaufpläne angegeben. Die Angabe von vollständigen Programmen oder von Programmablaufplänen für jedes Verfahren würde den Rahmen und den Umfang dieses Bandes sprengen und ist der Spe zialliteratur vorbehalten; ein Verzeichnis ausgewählter, weiterführenderSpezialliteratur ist dem eigentlichen Literaturverzeichnis beigefügt.

Das Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die Herr Prof. Dr. H. Ru t i - hau s e r und der Unterzeichnete an der Eidgenössischen Technischen Hoch schule in Zürich gehalten haben. Es richtet sich an Mathematiker und Physiker, aber auch an Ingenieure und Naturwissenschafter, die an numerischer Mathe matik der linearen Algebra interessiert sind. Für das Verständnis des Buches werden die Elemente der linearen Algebra und die Grundregeln der Matrizenrechnung vorausgesetzt, wie sie in den unteren Semestern eines Hochschulstudiums vermittelt werden. Ferner wird angenommen, daß der Leser mit elementaren Begriffen der numerischen Mathematik, wie sie etwa in dem im gleichen Verlag erschienenen Buch von Herrn Prof. Dr. E. S t i e fe 1, Einführung in die numerische Mathematik, behandelt werden, vertraut sei. An zwei Stellen wird die Variationsrechnung herangezogen, um in mehr ein führenden Betrachtungen einerseits die Problemklassen zu skizzieren, welche mit den nachfolgenden Methoden gelöst werden können, und um anderseits die pro blemgerechte Vorbereitung darzulegen. Die Kenntnis der Formelsprache ALGOL ist nützlich aber nicht unbedingt erforderlich, da die entsprechenden Textteile übersprungen werden können. Das Buch behandelt grundsätzlich nur Probleme der linearen Algebra, deren Lösung auf eine Aufgabe mit symmetrischer Matrix zurückgeführt werden kann.

Die fortschreitende Anwendung numerischer Berechnungsverfah ren in Industrie und Forschung erfordert eine über das Er lernen einer Programmiersprache hinausgehende Beschäftigung mit diesem Gebiet. Aus dem Grunde wird für Studierende der Elektrotechnik im 8. Semester seit 6 Jahren an der Techni schen Universität Braunschweig eine Vorlesung über numeri sche Verfahren in der Energietechnik angeboten, verbunden mit einer Ubungsstunde, in der eine Einführung in FORTRAN IV gegeben wird, so daß die Studenten Rechenmethoden und Pro grammiertechnik an praxisnahen Beispielen lernen. Das vor liegende Skriptum entstand aus dieser Lehrveranstaltung und behandelt die drei Hauptthemen: Lösung von partiellen Differentialgleichungen 2. Ordnung und Systemen von gewöhnlichen Differentialgleichungen 1. Ordnung sowie die mathematische Optimierung. Ubergeordnet ist eine Darstellung zur Lösung symmetrisch-definiter Gleichungssyste me, da hierauf in den anderen Abschnitten zurückgegriffen wird. Anschließend sind einige mathematische Ergänzugen zu sammengestellt, die zur Abrundung des Verständnisses dienen, hierzu gehört eine Einführung in die Begriffe der Variations rechnung. Im Abschnitt über die Lösung partieller Differentialglei chungen 2. Ordnung mit dem Differenzenverfahren und der Me thode der finiten Elemente wird der Schwerpunkt auf die Be rechnung magnetischer Felder gelegt. Die dort gezeigten Uber legungen können auf Probleme der elektrischen Feldverteilung, der Wärmeleitung, der Strömungsmechanik und der mechanischen Elastizität übertragen werden. Bei der Optimierung werden iterative Suchverfahren im Vektorraum für nichtlineare Pro bleme mit und ohne Restriktionen beschrieben. Hierzu gehört ein weites Anwendungsgebiet, beispielsweise die Festlegung von Parametern und die Dimensionierung von elektrischen Ge räten und Maschinen.

Durch die Möglichkeit der Durchführung mathematischer Berechnungen mit Hilfe von Computeralgebrasystemen hat die Numerik ein neues Gesicht bekommen. Studierende der Ingenieurwissenschaften und der Wirtschaftswissenschaften an Fachhochschulen und Universitäten, die sich in die praxisorientierte Numerik mit Hilfe des Programms "Mathematica" einarbeiten wollen, erhalten mit diesem Buch eine fundierte Einführung. Die behandelten numerischen Methoden werden jeweils anhand einzelner Beispiele erklärt und mit Mathematica durchgerechnet, so dass analoge Aufgabenstellungen im Rahmen des Studiums leicht selbst mit Mathematica nachvollziehbar werden.

Die Idee zu diesem Text entstammt meinem immer wieder unglaubigen Erstaunen daruber, daB selbst erfahrene Ingenieure, Physiker oder Mathematiker ihre Pro gramme lieber vollstandig selbst schreiben als Programmpakete zu benutzen. Ja, selbst einige meiner Numerik-Diplomanden erachten es als eine Zumutung, wenn ich verlange, daB gewisse Teile ihrer Programme durch Bibliotheks-Routinen er setzt werden. Woran liegt das? These 1: "Programmpakete sind entweder gut oder leicht bedienbar. " Diese These klingt sehr rigoros, enthiilt aber sicher einen wahren Kern. Da gibt es benutzerfreundliche Dialog-Systeme zur Losung numerischer Probleme auf einem PC, die den Benutzer sanft von den Problemstellungen uber die Verfahrensauswahl bis zur Parameter-Eingabe und Losung geleiten, aber nichts zur Fehleranfiilligkeit der Algorithmen sagen, ungenaue Funktionen verarbeiten oder zweideutige Routi nen enthalten, Beispiele findet man in [30]. Andererseits gibt es Pakete wie NAG!, die uber Hunderte von Routinen verfugen. Sie sind in vielen Jahren Arbeit mit sorgfaltiger Problemanalyse, Programmierung und Test entstanden und werden durch neue Releases regelmaBig "gewartet". Ihr Manual fUllt aber viele dicke Ordner. Das schreckt viele Benutzer abo Dabei wird man doch belohnt mit fehlerfreien Programmen, moglichst exakten Ergebnissen, graphischen Darstellungsmaglichkeiten und genau definierten Programmablaufen. These 2: "Jedes Programm mit mehr als 50 Zeilen ist falsch. " Diese These trifft leider ebenso haufig zu, wie sie auf Widerspruch staBt. Durch die VerfUgbarkeit guter Programmpakete ist es immer sinnloser geworden, daB der Mathematiker, der Naturwissenschaftler oder der Ingenieur die Losungsroutinen fUr seine numerischen Standardprobleme selbst programmiert.

Dieser Sammelband enthält die ausgearbeiteten Fassungen einiger Beiträge zu einem Workshop über "Numerische Algorithmen auf Transputer-Systemen", welcher im Rahmen der Aktivitäten zweier GAMM-Fachausschüsse am 31. 5. - 1. 6. 1991 in Heidelberg stattfand. Die etwa 120 Teilnehmer aus Mathematik, Physik, Informatik und den Ingenieurwissenschaften diskutierten theoretische und praktische Aspekte des Entwurfs und der Realisierung von numerischen Al gorithmen vornehmlich auf Transputer-basierten Parallelrechnern. Die starke Rolle der Transputer-Systeme spiegelte deren große Verbreitung an Hochschul instituten wieder. Seit Anfang 1990 wurden in der Bundesrepublik mehrere größere Parallelrechner dieser Art mit bis zu 320 Prozessoren installiert. Dazu kommen noch eine Vielzahl kleiner Entwicklungssysteme bis hinunter zu ein zelnen Transputer-Boards in Tischrechnern. Dies hat zu einem weitverbreite ten Interesse an den mit der Transputer-Technologie verbundenen Hard- und Software-Fragen geführt. Die Präsenz der anderen Parallelrechnertypen vor nehmlich US-amerikanischer Herkunft blieb dagegen auf relativ wenige Instal lationen in größeren Instituten und Rechenzentren beschränkt. Im Zuge der breiteren Verfügbarkeit von Parallelrechnern aller Größenordnun gen befaßt sich eine zunehmende Zahl von Arbeitsgruppen an Universitäten und in außeruniversitären Forschungseinrichtungen mit der Entwicklung von parallelen Algorithmen und deren Anwendung für wissenschaftliche und tech nische Problemstellungen. Diese Entwicklung folgt dem internationalen Trend im wissenschaftlichen Rechnen hin zur Nutzung von Mehrprozessorsystemen zur Steigerung der numerischen Rechenleistung. Da abzusehen ist, daß die kommenden Hochleistungsrechner wohl durchgehendparallele Architekturen haben werden, ist es wichtig, bereits frühzeitig möglichst viele Erfahrungen mit der Parallelisierung von Algorithmen und ihrer Implementierung zu sammeln.

Mathematiker, Naturwissenschaftler und Ingenieure erhalten mit diesem Lehrbuch eine Einführung in die numerische Behandlung partieller Differentialgleichungen. Diskutiert werden die grundlegenden Verfahren - Finite Differenzen, Finite Volumen und Finite Elemente - für die wesentlichen Typen partieller Differentialgleichungen: elliptische, parabolische und hyperbolische Gleichungen. Einbezogen werden auch moderne Methoden zur Lösung der diskreten Probleme. Hinweise auf existierende Software sowie zahlreiche Beispiele und Übungsaufgaben runden diese Einführung ab.

In den Grundvorlesungen uber Technische Mechanik werden aus didaktischen Grunden vorwiegend solche Probleme behandelt, die in die Denkweise die ses Gebiets einfuhren und ohne allzu groBe mathematische und rechneri sche Schwierigkeiten zu losen sind. Diese Vorgehensweise ist richtig, denn der Student soll in den ersten Semestern nicht durch aufwendige und komplizierte Berechnungsverfahren von den wesentlichen Prinzipien der Mechanik abgelenkt werden. Nachdem die Grundbegriffe sicher erarbeitet worden sind, kann man dazu ubergehen, auch numerisch schwierigere oder zumindest aufwendigere Probleme der Mechanik zu behandeln. Dabei treten seltener Schwierigkeiten im mechanischen Verstandnis auf, sondern viel mehr in der mathematischen Formulierung der Probleme und deren Losung bis zum numerischen Endergebnis. Ziel dieses Buches ist es, diese oft mals vorhandene Lucke zwischen Grundwissen und numerischer Durchfuhrung einer konkreten Aufgabe zu schlieBen. Das vorliegende Buch soIl also in das umfangreiche Gebiet der numeri schen Methoden einfuhren. Hier gibt es prinzipiell zwei Moglichkeiten der Darstellung. Man kann numerische Methoden (wie z. B. Differenzenver fahren, Newtonsches Verfahren usw. ) beschreiben und diese dann auf spe zielle mechanische Aufgaben anwenden. Die andere Art der Darstellung geht von der mechanischen Problemstellung aus und entwickelt hierfur eine numerische Methode. Der erste Weg wird im allgemeinen starker von einem Mathematiker bevorzugt, wahrend der Ingenieur wohl lieber den zweiten Weg wahlen wird. Ich habe mich in diesem Buch fur die zweite Darstellungsart entschlossen. Diese mehr induktive Vorgehensweise kostet zwar etwas mehr Zeit, erfaBt aber die Besonderheiten einer mechanischen Aufgabe besser, d. h. die numerische Methode ist dem jeweiligen Problem besser angepaBt.

Das Anliegen dieses Buches ist die Präsentation numerischer Methoden für partielle DG in einem Kontext, der für Ingenieure interessant ist. Dies bedeutet, daß versucht wird, physikalisch sinnvolle Probleme zu behandeln und auf physikalisch und technisch relevante Probleme aus der Praxis Bezug zu nehmen. - In dem Buch werden finite Differenz-, Volumen- und Elemente-Methoden nebeneinander dargestellt, die letzteren allerdings in einem anderen Rahmen, als es in der Technik (vor allem in der Statik) üblich ist. Hierdurch soll deutlich gemacht werden, daß das Anwendungsgebiet der Finiten-Elemente-Methode mehr oder weniger universal ist. Sowohl praktische als auch theoretische Betrachtungen werden angestellt, wobei die Poissongleichung, die Diffusionsgleichung, die Schwingungsgleichung und die Transportgleichung stellvertretend für die allgemeineren Gleichungen stehen. Die Theorie in diesem Buch soll keine genauen Fehlerabschätzungen für praktische Situationen liefern, sondern anhand einfacher Modellprobleme einen Einblick in die Vorteile verschiedener Methoden liefern."... Für Ingenieure bietet das Buch auf etwa 300 Seiten eine gut lesbare Einführung in die wichtigsten Methoden zur numerischen Lösung partieller Differentialgleichungen. Die Autoren erhöhen die Les- und Lernbarkeit durch eine gute Einteilung des Stoffes, klare Darstellung der Zusammenhänge und die Beschränkung auf die wichtigsten Standardbeispiele. ..." N. Köckler. Zentralblatt für Mathematik, Berlin "... In summary, this book provides the reader with clearly presented numerical methods for solving simple PDEs that are of importance

Graphikfähige Taschenrechner (GTR) werden wegen ihres günstigen Preis Leistungs-Verhältnisses und ihrer Handlichkeit zunehmend in die Schul-und Hochschulausbildung integriert. Derartige Rechner bieten zur Zeit die Firmen CASIO, Hewlett Packard, Sharp und Texas Instruments an. Gegenüber den seit Jahren in der Schule verwendeten Taschenrechnern verfügt der GTR über ein graphikfähiges Display und Software zur Arbeit mit Graphiken sowie zur Lö sung mathematischer und weiterer Aufgaben. Der GTR ist programmierbar, hat einen angemessen großen Hauptspeicher von wenigstens 16 Kilobyte und kann mit einem GTR gleichen Typs oder über ein Interface mit einem Per sonalcomputer kommunizieren. GTR, die über ein Computeralgebra-System verfügen, können verschiedene analytisch geschlossen lösbare mathematische Aufgaben durch symbolische Rechnung formelmäßig lösen. Zur qualifizierten Nutzung eines GTR oder eines anderen Computers für wis senschaftliche Rechnungen sind sowohl Kenntnisse über die zu lösende Auf gabe als auch über die entsprechenden Möglichkeiten des verfügbaren Rech ners einschließlich der verwendeten Algorithmen erforderlich. Aus der Tatsa che, daß auf einem Rechner ohne Computeralgebra-System ausschließlich nu merisch gerechnet wird und die numerische Rechnung auch auf einem Rech ner mit Computeralgebra-System eine wesentliche Rolle spielt, resultiert die große Bedeutung der Numerischen Mathematik (Numerik) für die sachgerechte Rechnernutzung. Überdies entsteht durch den wachsenden Rechnereinsatz ein zunehmender Bedarf an Kenntnissen der Numerik. Dem trägt die vorliegende Starthilfe Rechnung. Sie ergänzt mit ihrer schwerpunktmäßigen Orientierung auf Numerik die nach wie vor sehr wichtige überwiegend analytischausgerich tete Ausbildung an den Gymnasien.

Der Umfang des Datenmaterials in Wissenschaft und Technik nimmt immer schneller zu; seine Auswertung und Beurteilung erweisen sich zunehmend als die eigentliche Schwierigkeit bei vielen wichtigen Problemen. Dem steht auf der anderen Seite ein seit Jahren ungebrochenes Anwachsen der Rechnerleistung und die zunehmende Verfügbarkeit mächtiger Algorithmen gegenüber, aber es ist oft nicht einfach, von diesen Hilfsmitteln den richtigen und professionellen Gebrauch zu machen. Dieses Buch, entstanden aus der Praxis der Verarbeitung großer Datenmengen, will eine Einführung und Hilfe auf diesem Gebiet geben. Viele der Probleme sind statistischer Natur. Hier ist es sprichwörtlich leicht, Fehler zu machen. Deshalb sind der Erklärung und der kritischen Durchleuch tung statistischer Zusammenhänge auch im Hinblick auf die Praxis ein ange messener Raum gewidmet und ebenso den Monte Carlo-Methoden, welche heute einen verhältnismäßig einfachen Zugang zu vielen statistischen Problemen bie ten. Werkzeuge für die Organisation und Strukturierung großer Datenmengen bilden ein weiteres wichtiges Thema. Dazu gehören auch effiziente Verfahren zum Sortieren und Suchen, welche oft Teil größerer Algorithmen sind. Die Verarbeitung großer Datenmengen hat oft die Extraktion verhältnismäßig weniger Parameter zum Ziel. Hier sind Verfahren wie die Methoden der klein sten Quadrate und der Maximum-Likelihood wichtig, in Verbindung mit effek tiven Optimierungsalgorithmen. Ein weiteres Problem, welches oft unterschätzt wird, ist die Rekonstruktion ursprünglicher Verteilungen aus fehlerbehafteten Messungen durch Entfaltung. Mit der Verfügbarkeit mathematischer Bibliotheken für Matrixoperationen kön nen viele Probleme elegant in Matrixschreibweise formuliert und aufRechnern gelöst werden. Deswegen werden auch die einfachen Grundlagen der Matrixal gebra behandelt.

Der vorliegende Band entstand aus Texten, die im Rahmen des "Modellversuch zur mathematischen Weiterbildung" der Universität Kaiserslautern geschrieben wurden. Er soll Ingenieure, Mathematiker und Naturwissenschaftler in der Praxis und an Hochschulen über Methoden zur numerischen Lösung von Randwert problemen, soweit diese für technische Fragestellungen von Bedeutung sind, informieren. Im ersten Teil werden Diskretisierungen beschrieben. Dabei gehen wir kurz auch auf die klassische Methode der Finiten Differenzen ein, befassen uns hauptsächlich jedoch mit der Methode der Finiten Elemente und am Rande mit der der Finiten Volumen. Auch nichtlineare Randwertprob1emewerden betrachtet. Der zweite Teil enthält die wichtigsten Methoden zur direkten oder iterativen Lösung der durch die Diskretisierung der Randwertprobleme entstehenden großen, schwach besetzten, linearen und nichtlinearen Gleichungssysteme. Dabei werden jeweils die numerischen Eigenschaften und der Rechenaufwand der Verfahren diskutiert, bei den Iterationsverfahren finden sich Aussagen über die Konver genzgeschwindigkeit. Auch auf neueste Entwicklungen wird eingegangen oder zu mindest hingewiesen. Die Fülle des Stoffes einerseits und der relativ geringe Umfang des Buches andererseits bedingen eine knappe Darstellung. Durch verständliche Formulie rungen mit zahlreichen erläuternden Abbildungen, aber auch durch viele ge zielte Literaturhinweise, hoffen wir, dieser Tatsache angemessen Rechnung zu tragen. Wir sind jedoch für kritische Hinweise stets dankbar. Darmstadt und Stuttgart W. Törnig, M. Gipser, B. Kaspar Dezember 1984 In der 2. Auflage wurden die uns bekanntgewordenen Fehler beseitigt. Der Text selbst unterscheidet sich nicht von dem der 1. Auflage.

I Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 1 Differentialgleichungen erster Ordnung.- 2 Einige spezielle Gleichungen erster Ordnung.- 3 Differentialgleichungssysteme erster Ordnung.- 4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 5 Lösungen durch Potenzreihenentwicklung.- II Numerik.- 6 Polynome und Nullstellenbestimmung.- 7 Interpolation.- 8 Approximation.- 9 Numerische Integration.- 10 Numerische Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen.- 11 Numerische Lösung linearer Gleichungssysteme.- Mathematica-Befehle.- Sachwortverzeichnis.

Die praktische Mathematik beschäftigt sich mit Verfahren zur Lösung typischer mathematischer Grundaufgaben, die in Anwendungsgebieten der Mathematik und in der Praxis auftreten, sowie mit der mathematischen Analyse und Behandlung dieser Verfahren. In naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungsgebieten handelt es sich bei diesen Aufgaben zum Beispiel um die Berechnung spezieller Funktionen, die näherungsweise Berechnung von Differentialquotienten und von Integralen dieser Funktionen, um die Lösung algebraischer Gleichungen, von linearen und nichtline aren algebraischen Gleichungssystemen, um die näherungsweise Lösung von Differential-und Integralgleichungen und so weiter. Für die Praxis ist man dabei vorwiegend an Methoden interessiert, die die näherungsweise, numerische Lösung der Aufgaben gestatten. In diesem Buch werden die üblichen Vorkenntnisse der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Algebra aus dem ersten Jahr des Mathematikstu diums vorausgesetzt. Die numerischen Übungsaufgaben sind so gestellt, daß sie im Rahmen eines Mathematischen Praktikums auf programmierbaren digitalen Rechen maschinen gelöst werden können. Ein Teil der Aufgaben läßt sich bereits auf programmierbaren Taschenrechnern bearbeiten. Zahlreiche Taschenrechnerpro gramme mit detaillierten Beschreibungen der numerischen Algorithmen sind in einem Buch des zweiten Autors zu finden. Die problemorientierten Programmierungsspra chen moderner Großrechenanlagen gestatten ohne weiteres das Rechnen im Bereich der komplexen Zahlen. Eine Reihe von Aufgabenstellungen wie zum Beispiel die Bestimmung von Nullstellen bei Polynomen oder von Eigenwerten bei Matrizen ist im allgemeinen Fall nur im Körper der komplexen Zahlen vollständig lösbar.

Hiermit legen wir den abschlieBenden Band unserer "Mathematik fiir Informati ker" vor. Auch hier haben wir uns bemiiht - soweit dies bei dem diesmal anspruchs volleren Stoff maglich ist - den algorithmischen und konstruktiven Aspekt in den Vordergrund zu stellen. Die Stoffauswahl wurde u. a. dadurch bestimmt, daB auch auf die Bediirfnisse der Informatiker mit technischen Nebenfachern eingegangen wurde - so ist ein ausfiihrliches Kapitel iiber Funktionen mehrerer Veranderlicher entstanden, welches fiir den "Nurinformatiker" erst in zweiter Linie interessant ist. Zum Inhalt: In Kapitel VII werden numerische Fragen aus der Linearen Algebra und der Analysis behandelt. Nach einer Einfiihrung in die Gleitpunktarithmetik - die nur bei der ml. merischen Behandlung von linearen Gleichungssystemen in Kapitel VII, 2 und der Fehlerabschatzung bei der Berechnung von Eigenwerten von Tridiagonalmatrizen in Kapitel VIII, 5 benatigt wil'd - werden in 2 Fehlerab schatzungen fiir die Lasung von linearen Gleichungssystemen bei Spaltenpivotsuche und Totalpivotsuche hergeleitet. Unitare und orthogonale Matrizen werden in 3 eingefiihrt; neben dem numerisch ungiinstigen Orthogonalisierungsverfahren nach E. Schmidt wird in 4 die QR-Zerlegung einer Matrix nach Householder behandelt, und es wird auf die Anwendung dieser Zerlegung beim Lasen linearer Gleichungs systeme hingewiesen. Weitel'e Methoden zur Lasung von linearen Gleichungssy stemen werden in Kapitel IX, 3 behandelt, namlich das Gesamtschrittverfahren [Jacobi-Verfahren] und das Einzelschrittverfahren [GauB-Seidel-Verfahren]. Zum Verstandnis der erst en 4 Paragraphen von Kapitel VII l'eichen die Kenntnisse aus Kapitel II aus.

VII Numerik.- �Gleitpunktrechnung.- �Fehlerabsch鋞zung bei linearen Gleichungssystemen.- �Unit鋜e und orthogonale Matrizen.- �Das Verfahren von Householder.- �Interpolation.- �Die Eulersche Summenformel.- �Numerische Integrationsverfahren.- VIII Eigenwerte.- �Eigenwerte und Eigenvektoren.- �Berechnung des charakteristischen Polynoms.- �Die Jordansche Normalform.- �Hermitesche Matrizen.- �Berechnung der Eigenwerte von Tridiagonalmatrizen.- IX Funktionen mehrerer Ver鋘derlicher.- �Folgen von Matrizen.- �Stetige Abbildungen.- �Fixpunktsatz und Anwendungen.- �Differenzierbare Abbildungen.- �Umkehrabbildungen und implizite Funktionen.- �Differentialgleichungen.- �Lineare Differentialgleichungen.- �Lineare Differenzengleichungen.- X Lineare Optimierung.- �Vorbereitungen.- �Ein Simplex-Algorithmus.- XI Stochastik.- �Summierbare Abbildungen.- �Diskrete Wahrscheinlichkeitsr鋟me.- �Zuf鋖lige Ver鋘derliche.- �Die Ungleichung von Tschebyscheff.- �Der chi-Quadrat-Test.- �Zufallszahlen.- �Erzeugung von Zufallszahlen.- XII Vektorr鋟me und lineare Abbildungen.- �Vektorr鋟me.- �Lineare Abbildungen.- XIII Algebra.- �Monoide und Gruppen.- �Endliche abelsche Gruppen.- �Ringe und K鰎per.- �Faktorielle Monoide und Ringe.- �Polynomringe in mehreren Unbestimmten.- �Symmetrische Polynome.- �Resultante und Diskriminante.- XIV Zahlentheorie.- �Die Restklassenringe von ?.- �Primzahlen.- �Primzerlegungen.- XV Primzerlegung von Polynomen.- �K鰎pererweiterungen.- �Endliche K鰎per.- �Primzerlegung von Polynomen 黚er endlichen K鰎pern.- �Primzerlegung von Polynomen 黚er ?.- XVI Boolesche Algebren.- �Verb鋘de.- �Boolesche Algebren.- Namen- undSachverzeichnis.

Die numerische Behandlung von Matrizen gewinnt zunehmend Bedeutung in einer Vielzahl von Wissensgebieten; insbesondere tritt häuftg die Frage auf, wie sich Än derungen an Matrizen auf die Inverse der Matrix auswirken. Als Operationen kom men Addition, Ränderung und Reduktion von Matrizen in Frage. Solche Fragestel lungen sind von besonderem Interesse, z. B. bei der Lösung von Gleichungssystemen, wenn man die Eingabedaten im oben angegebenen Sinne ändert und eine Neuberech nung des gesamten Systems wegen des hohen Rechenaufwandes vermeiden möchte, wobei vor allem wirtschaftliche Erwägungen eine Rolle spielen. Das Problem ist bis her nicht unter diesem allgemeinen Gesichtspunkt untersucht worden. Außerdem dürfte es sich um die erste zusammenfassende Darstellung handeln, die die Bedürf nisse der Datenverarbeitung berücksichtigt. So werden zu den wichtigsten Verfahren getestete ALGOL-Prozeduren angegeben. Zu jedem der Verfahren sind numerische Beispiele angefUhrt, so daß auch Leser, die sich nur sehr oberflächlich in der Matrizen rechnung auskennen, daraus Gewinn ziehen können. Für das vertiefte Studium weiterer Einzelheiten gtbt das ausführliche Uteraturver zeichnis eine gute Hilfestellung. Der Verfasser hat sich bemüht, den historischen Werdegang der einzelnen Formeln zu verfolgen, die sehr verstreut in der mathemati schen literatur auftauchen. Es ist sehr zu begrüßen, daß versucht wurde, alle diese Formeln auf eine gemeinsame Wurzel zurückzuführen und man möchte hoffen, daß sich weitere mathematische Untersuchungen mit diesen Fragestellungen beschäftigbn, die für die Praxis von großer Bedeutung sein können, da der Rechenaufwand oft nicht unbeträchtlich gesenkt werden kann, wie man aus den im Text angegebenen Zusammenstellungen des Aufwands an Multiplikationen entnehmen kann.

I Grundlagen der Analysis.- 1 Grundbegriffe.- 2 Zahlenfolgen.- 3 Elementare transzendente Funktionen.- 4 Die komplexen Zahlen.- 5 Grenzwert und Stetigkeit.- II Differentialrechnung.- 6 Differentialquotient und Differential.- 7 Der Mittelwertsatz und die Taylorsche Formel.- 8 Untersuchung von Funktionen mittels der Differentialrechnung.- 9 Numerische Verfahren zur Berechnung von Nullstellen.- III Integralrechnung.- 10 Das unbestimmte Integral.- 11 Das bestimmte Integral.- 12 Uneigentliche Integrale.- 13 Anwendungen der Differential- und Integralrechnung in Geometrie, Mechanik und Physik.- 14 Numerische Integration.- IV Reihen.- 15 Reihen mit konstanten Gliedern.- 16 Folgen und Reihen von Funktionen.- 17 Potenzreihen.- 18 Fouriersche Reihen.- V Vektor- und Matrizenrechnung.- 19 Vektoren im euklidischen Raum.- 20 Matrizenrechnung. Lineare Gleichungssysteme.- 21 Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen.- VI Differential- und Integralrechnung von Funktionen mehrerer Veränderlicher.- 22 Funktionen in mehreren unabhängigen Veränderlichen.- 23 Differentiation von Funktionen in mehreren Veränderlichen.- 24 Fortführung der Differentialrechnung.- 25 Integration von Funktionen in mehreren Veränderlichen.- VII Integraltransformationen und verallgemeinerte Funktionen.- 26 Lineare Funktionenräume und lineare Integraloperatoren.- 27 Die Fourier- und Laplace-Transformation.- 28 Verallgemeinerte Funktionen.- VIII Gewöhnliche Differentialgleichungen.- 29 Lösungsverhältnisse bei gewöhnlichen Differentialgleichungen.- 30 Allgemeine Theorie linearer Differentialgleichungen.- 31 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten.- 32 Nichtlineare Differentialgleichungen.- IX Vektoranalysis und partielle Differentialgleichungen.- 33 Vektorfelder. Differentiation undIntegration der Feldgrößen.- 34 Die Integralsätze von Stokes und Gauß.- 35 Elemente der Feldtheorie.- 36 Partielle Differentialgleichungen.- X Funktionentheorie.- 37 Analytische Funktionen.- 38 Anwendungen.- Sachwortverzeichnis.

In diesem Buch werden einige Verfahren zur numerischen Losung von bestimmten Integralen und Anfangs-, Rand-und Eigenwertaufgaben bei gewohnlichen Differentialgleichungen beschrieben und in Programme fUr Taschenrechner der Serie TI-58 oder TI-59 umgesetzt. Das Buch kann damit demjenigen, der lediglich ein konkretes Problem aus dem hier behandelten Themenkreis losen mochte, als Programmsammlung dienen. In diesem Fall braucht nur aus dem Katalog der 33 effi zienten Programme (s. Anhang) das geeignete herausgesucht und unter Beachtung der zuge horigen Benutzeranleitung gestartet zu werden. Vornehmlich aber wendet sich dieses Buch an den Leser, der das umfangreiche Gebiet der numeri schen Methoden bei Differentialgleichungen kennenlernen und sich bei einem ersten Studium nicht durch eine allzu theoretische Darstellung abschrecken lassen mochte. Die meisten Mathe matiker begeistern sich naturgemar! hauptsiichlich fiir eine moglichst umfassende Theorie mit schonen und mathematisch strengen Beweisen. Es fallt ihnen nicht immer leicht einzusehen, dar! viele Menschen diese Begeisterung nicht in gleichem Mar!e teilen und stattdessen lieber ein prak tisches oder zumindest ein numerisches Beispiel vorziehen. Aus diesem Grund wird in diesem Buch auf die Theorie der Verfahren kaum eingegangen. Diese findet der Leser in manchen der zahl reichen Lehrbiicher iiber numerische Mathematik, von denen einige im Literaturverzeichnis ange geben sind. Wir werden also auf den folgenden Seiten die jeweiligen Verfahren an vielen Beispielen erproben.

Das Arbeitsbuch Mathematik für Ingenieure richtet sich an Studierende der ingenieurwissenschaftlichen Fachrichtungen an Technischen Universitäten. Der zweite Band behandelt die Themen Differentialgleichung, Funktionentheorie, Numerik und Statistik. Das Konzept des Arbeitsbuchs ist so angelegt, dass zunächst die Fakten (Definitionen, Sätze usw.) dargestellt werden. Durch zahlreiche Bemerkungen und Ergänzungen werden die Fakten jeweils aufbereitet, erläutert und ergänzt. Die zahlreichen Beispiele fördern das Verständnis, das am Ende eines jeden Kapitels in Form von Tests und Übungsaufgaben überprüft werden kann. Zu den Tests und Übungsaufgaben sind die Lösungen angegeben. Das Arbeitsbuch erfordert so die aktive Mitarbeit des Lesers, andererseits kann es auch als Nachschlagewerk dienen.

Das vorliegende einführende Lehrbuch ist aus einer 4-semestrigen Grundvorlesung entstanden, die in den letzten Jahren wiederholt für Studierende des Faches Ma schinenbau an der Technischen Hochschule Darmstadt gehalten wurde. Die Dar stellung wendet sich vorwiegend an Studierende der Ingenieurwissenschaften, dürfte aber auch für Studenten anderer Fächer (etwa Natur- oder Wirtschaftswis senschaften) von Nutzen sein. Da in der letzten Zeit eine Reihe von zum Teil ausgezeichneten Lehrbüchern über Ingenieurmathematik erschienen ist, ist die Frage nach dem Bedarf eines weiteren Lehrbuches natürlich berechtigt. Ich habe aber das Gefühl, daß es nützlich ist, den Ingenieur-Studenten ein Buch in die Hand zu geben, das nach dem Motto "so knapp wie möglich, so ausführlich wie nötig" einerseits wirklich noch ein Lehrbuch ist, andererseits aber auf möglichst kleinem Raum in übersichtlicher Weise etwa den mathematischen Stoff darbietet, der von einem Absolventen des Diplomvorexamens beherrscht werden sollte. Natürlich ist dies nur umrißhaft zu verstehen, denn das vorliegende Buch kann nicht den An spruch auf Vollständigkeit erheben, da die Schwankungen der Stoffauswahl im Grundstudium bei den einzelnen ingenieurwissenschaftlichen Fächern zu groß sind. Um dennoch möglichst viel Stoff unterzubringen, ist eine ganze Reihe von Beweisen nur skizziert bzw. ganz weggelassen worden. Dagegen war es mein Be streben, auf Beispiele im Text keinesfalls zu verzichten. Zur Vertiefung des Stoffes sei z. B. auf das ausgezeichnete 4-bändige Werk von Burg/HaflWille: "Höhere Ma thematik für Ingenieure" sowie Schwarz: "Numerische Mathematik" verwiesen und dem Leser hiermit wärmstens empfohlen.

Dieser Band ist aus Lehrveranstaltungen hervorgegangen, die von den Autoren für Ingenieurstudenten, insbesondere für den Studiengang Bauingenieurwesen, an der Technischen Universität Dresden gehalten wurden. Zentrale Themen dieses Lehrbuches sind: Reelle und komplexe Zahlen, lineare Algebra einschließ lich lineare Optimierung, gewöhnliche Differentialgleichungen und Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Dieses Basiswissen wird ausführlich dargestellt; hier finden sich viele Beispiele, Abbildungen und Herleitungen. Weitere wichti ge Teile der Höheren Mathematik sind enthalten. Durch diese Anlage richtet sich der vorliegende Band vor allem an Ingenieurstu deuten an Universitäten und Fachhochschulen, die beim Studium der Mathema tik schon bei den Grundlagen Unterstützung brauchen. Die spezielle Auswahl des Stoffes kommt den Bedürfnissen der Bauingenieure besonders entgegen. Die Autoren konnten in dankenswerter Weise die Erfahrungen vieler Kollegen des Instituts für Analysis und des Instituts für Numerische Mathematik der Technischen Universität Dresden nutzen, stellvertretend seien Herr Professor Dr. W. Schirotzek sowie Herr Professor Dr. J. Voigt genannt. Für Ratschläge zu Beispielen und Abbildungen sind die Autoren insbesondere Frau Magister H. Pfeifer zu Dank verpflichtet, ebenso Frau M. Gaede-Samat für das Schreiben und die Endgestaltung des TEX-Manuskripts. Für die aufgeschlossene und freundliche Zusammenarbeit bei der Entstehung dieses Bandes danken wir Herrn J. Weiß vom Teubner-Verlag.

Das vorliegende einfUhrende Lehrbuch ist aus einer 4-semestrigen Grundvorlesung entstanden, die in den letzten Jahren wiederholt fUr Studierende des Faches Ma schinenbau an der Technischen Hochschule Darmstadt gehalten wurde. Die Dar stellung wendet sich vorwiegend an Studierende der Ingenieurwissenschaften, durfte aber auch fUr Studenten anderer Piicher (etwa Natur- oder Wirtschaftswis senschaften) von Nutzen sein. Da in der letzten Zeit eine Reihe von zum Teil ausgezeichneten Lehrbuchern uber Ingenieurmathematik erschienen ist, ist die Frage nach dem Bedarf eines weiteren Lehrbuches naturlich berechtigt. Ich habe aber das GefUhl, daB es nutzlich ist, den Ingenieur-Studenten ein Buch in die Hand zu geben, das nach dem Motto "so knapp wie moglich, so ausfUhrlich wie notig" einerseits wirklich noch ein Lehrbuch ist, andererseits aber auf moglichst kleinem Raum in ubersichtlicher Weise etwa den mathematischen Stoff darbietet, der von einem Absolventen des Diplomvorexamens beherrscht werden sollte. Naturlich ist dies nur umriBhaft zu verstehen, denn das vorliegende Buch kann nicht den An spruch auf VOllstandigkeit erheben, da die Schwankungen der Stoffauswahl im Grundstudium bei den einzelnen ingenieurwissenschaftlichen Fachern zu groB sind. Um dennoch moglichst viel Stoff unterzubringen, ist eine ganze Reihe von Beweisen nur skizziert bzw. ganz weggelassen worden. Dagegen war es mein Be streb en, auf Beispiele im Text keinesfalls zu verzichten. Zur Vertiefung des Stoffes sei z. B. auf das ausgezeichnete 4-bandige Werk von Burg/Haf/WilJe: "Hohere Ma thematik fUr Ingenieure" sowie Schwarz: "Numerische Mathematik" verwiesen und dem Leser hiermit warmstens empfohlen.

Fachverband - Institut - Staat.- Einführung.- 1 Gründung der DMV.- 2 Felix Klein und die Anwendungen der Mathematik.- 3 Folgen des Nationalsozialismus für die Mathematik an den Universitäten.- 4 "Nationalismus versus Internationalismus".- 5 Ausblicke.- Quellen- und Literaturverzeichnis.- Diskrete Mathematik.- Einführung.- 1 Ideen zur Abzählung.- 2 Graphentheorie.- 3 Ideen zur Existenz.- 4 Ideen zur Optimierung.- 5 Ausblick.- Anmerkungen.- Kurzer Abriß der Geschichte der Informatik 1890-1990.- 1 Informatik und Mathematik.- 2 Die Situation von 1890.- 3 Die ersten 45 Jahre: Im Banne mechanischer und elektromechanischer Geräte.- 4 Der Umbruch zwischen 1935 und 1960: Universelle Maschinen, elektronische Realisierungen.- 5 Die letzten 30 Jahre: Die Informatik formiert sich.- 6 Ausblick: Die Informatik einerseits, die Mikroelektronik andrerseits bedingen sich gegenseitig.- Partielle Differentialgleichungen und Variationsrechnung.- I Die Quellen der Theorie.- II Die Grundlegung der modernen Theorie.- III Die Ausgestaltung der modernen Theorie.- IV Ein Beispiel für die modernen Methoden.- Grundlagen der Geometrie.- Einführung.- 1 Inzidenz.- 2 Anordnung, Kongruenz.- 3 Geometrische Strukturen.- Numerik.- Einführung.- 1 Zeit bis etwa 1920.- 2 Zeit von etwa 1920 bis zum Zweiten Weltkrieg.- 3 Zeit von etwa 1935 bis etwa 1945.- 4 Zeit nach dem Zweiten Weltkrieg.- 5 Einige weitere, teils neue Gebiete der Numerischen Mathematik.- Literatur.- Differentialgeometrie.- Einführung.- 1 Zur Entwicklung einiger Grundbegriffe und Probleme der Differentialgeometrie.- 2 Kurven und Flächen in euklidischen Räumen.- Anmerkungen.- Über die Entwicklung der Funktionentheorie in Deutschland von 1890 bis 1990.- Einführung.- 1 Zur Grundlegung der Funktionentheorie.- 2 DerRiemannsche Abbildungssatz.- 3 Normale Funktionenfamilien und Verwandtes.- 4 Konforme Abbildung mehrfach zusammenhängender Gebiete.- 5 Die Methode der extremalen Länge.- 6 Quasikonforme Abbildungen.- 7 Im Einheitskreis schlichte Funktionen.- 8 Potenzreihen an der Konvergenzgrenze - Summierung.- 9 Werteverteilung in ?.- 10 Werteverteilung in ?.- 11 Darstellungssätze - Approximation im Komplexen.- 12 Konstruktive Gesichtspunkte.- Zeittafel.- Biographische Hinweise auf die in der Zeittafel genannten deutschen Funktionentheoretiker.- Zur Geschichte der Konvexgeometrie und der Geometrie der Zahlen.- Einführung.- 1 Das Altertum.- 2 Die Neuzeit bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts.- 3 Das 19. Jahrhundert bis vor die Jahrhundertwende.- 4 Die systematische Phase um die Wende zum 20. Jahrhundert.- 5 Die weitere Entwicklung im 20. Jahrhundert.- 6 Schlußbemerkungen.- Wahrscheinlichkeitstheorie.- Einführung.- 1 Czubers Bericht.- 2 Schritte auf dem Weg zur Axiomatik Kolmogorows.- 3 Die Kontroverse um vonMises' Axiomatik.- 4 Anstöße aus der Physik.- 5 Nichtaxiomatische Beiträge vor 1945.- 6 Wolfgang Doeblin und Harry Reuter.- 7 Der Neubeginn.- 8 Versicherungsmathematik.- 9 Stochastik auf der Schule.- 10 Lehren.- 11 Ergänzende biographische Angaben.- Zur Entwicklung der angewandten Analysis und mathematischen Physik in den letzten hundert Jahren.- Einführung.- 1 Das Dirichletsche Prinzip.- 2 Integralgleichungen.- 3 Direkte Bestimmung des Minimums.- 4 Darstellung linearer Operatoren.- 5 Anfangsrandwertaufgaben und Streutheorie.- 6 Nichtlineare Probleme.- Vom Hilbertschen Basissatz bis zur Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.- Einführung.- 1 Entstehung der abstrakten Algebra.- 2 Berliner Schule.- 3 Anwendungen der "Modernen Algebra" in anderenGebieten der Mathematik.- 4 Darstellungstheorie endlicher Gruppen und endlich-dimensionaler Algebren.- 5 Klassifikation der endlichen einfachen Gruppen.- Algebraische Zahlentheorie.- I Das Reziprozitätsgesetz.- II Klassenkörpertheorie.- III Die Langlands-Vermutung.- IV Etale Topologie der algebraischen Zahlkörper.- Literatur.- Erich Hecke und die Rolle der L-Reihen in der Zahlentheorie.- 1 Dirichletsche Reihen und Z

Dieses Buch bietet neben den Teilen der Theorie von Differentialgleichungen, die sich exakt zeigen lassen, eine gründliche Einführung in die numerische Behandlung von Differentialgleichungen. Es ist für Mathematik-Studenten ab dem 3. Semester geeignet, bietet aber auch allen Naturwissenschaftlern und Ingenieuren die Möglichkeit, sich auf diesem wichtigen Gebiet der angewandten Mathematik die nötigen Grundlagen zu erarbeiten.

Diese dreisemestrige Einführung in die Analysis behandelt die Integral- und Differentialrechnung einer und mehrerer Veränderlicher. Daran anschließend werden analytische und einfache numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher Differentialgleichungen besprochen. Der letzte Teil ist Methoden der komplexen Funktionentheorie gewidmet. Zentrales Anliegen dieses Lehrbuches sind die Entwicklung und Anwendung von praktischen Methoden zur Lösung mathematischer Aufgaben sowie die Konstruktion dieser Lösungen.

Die mathematische Theorie der optimalen Steuerung hat sich im Zusammenhang mit Berechnungen für die Luft- und Raumfahrt schnell zu einem wichtigen und eigenständigen Gebiet der angewandten Mathematik entwickelt. Die optimale Steuerung durch partielle Differentialgleichungen modellierter Prozesse wird eine numerische Herausforderung der Zukunft sein. Im Buch werden entsprechende Grundlagen mit langsam steigendem Schwierigkeitsgrad entwickelt. Es enthält viele Beispiele und eignet sich als Grundlage für Vorlesungen und Seminare. Der Text wurde für die 2. Auflage grundlegend überarbeitet. Die Darstellung der numerischen Methoden orientiert sich stärker an den konkret zu rechnenden Systemen. Neueste Ergebnisse zur maximalen Regularität parabolischer Differentialgleichungen sind eingearbeitet. Lösungshinweise zu den Übungsaufgaben findet der Studierende nun im OnlinePLUS-Service des Verlages.