teubner numerische mathematik

In dieser umfassenden Einführung in die Numerische Mathematik wird konsequent der Anwendungsbezug dargestellt. Zudem werden dem Leser detaillierte Hinweise auf numerische Verfahren zur Lösung gewöhnlicher und partieller Differentialgleichungen gegeben. Ergänzt um ein Kapitel zur Modellierung soll den Studierenden auf diesem Weg das Verständnis für das Lösungsverhalten bei Differentialgleichungen erleichtert werden. Das Buch eignet sich daher sowohl als Vorlage für einen mehrsemestrigen Vorlesungszyklus zur Numerischen Mathematik als auch für Modellierungsvorlesungen im Rahmen eines der neuen Studiengänge im Bereich des Wissenschaftlichen Rechnens (Computational Science and Engineering). Es ist auch zum Selbststudium und als Nachschlagewerk gut geeignet.

Numerik der Optimierung (Teubner Studienbücher Mathematik)

Dieses Buch wendet sich an Studenten der Mathematik bis zum Vordiplom, an Informatiker und an Interessenten aus anderen naturwissenschaftlichen Fächern. Vorausgesetzt werden nur Grundkenntnisse der Analysis und der linearen Algebra. Das Buch entstand aus einer einsemestrigen, dreistündigen Vorlesung, die der erst genannte Verfasser wiederholt an der TU Braunschweig hielt. Es bringt eine elemen tare Einführung in die Methoden der numerischen Mathematik. Hauptanliegen ist es, die Grundideen der algorithmischen Lösung verschiedenster mathematischer Aufgaben möglichst klar werden zu lassen, um den Studenten in die Lage zu ver setzen, verwandte Fragestellungen selbständig zu bearbeiten sowie die erlernten Prinzipien auf neue Probleme anzuwenden. Um bei den Studenten die Freude an der Praxis zu wecken, sollte der Stoff mög lichst lebendig dargestellt werden, ohne die Grundgedanken der Verfahren mit bezeichnungs-und beweistechnischen Schwierigkeiten zu überdecken. Um praxisnah zu sein, sind die Algorithmen stets in einer Algol 60 ähnlichen Schreibweise angegeben, die unmittelbar programmierbar ist. An einfachen Bei spielen wird der Ablauf der Verfahren demonstriert. Besonderen Dank verdient Frl. Dr. Ingrid Brückner, die die erste Vorlesungsmit schrift anfertigte und am Entstehen des Buches wesentlich beteiligt war. Für ihre Mithilfe beim Lesen der Korrekturen danken wir Frl. Dr. Brückner, Herrn Prof. Dr. Homuth und Herrn cand. math. Jürgen Rüger. Wolfenbüttel und Stuttgart Wolfgang Böhm und Günther Gose im Frühjahr 1977 IV Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . III . . . . . . . . . . . I. Grundbegriffe 1. Algorithmen und Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . 1 . . . . 1.1. Algorithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1 . . . . . . . . 1.2. Realisierung von Algorithmen .................................. 2 1.3. Die Beurteilung von Algorithmen ................................ 2 1.4. Aufgaben und Ergänzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3 . . . . . .

Dieses Buch wendet sich an Studenten der Mathematik bis zum Vordiplom, an Informatiker und an Interessenten aus anderen naturwissenschaftlichen Fächern. Vorausgesetzt werden nur Grundkenntnisse der Analysis und der linearen Algebra. Das Buch entstand aus einer einsemestrigen, dreistündigen Vorlesung, die der erst genannte Verfasser wiederholt an der TU Braunschweig hielt. Es bringt eine elemen tare Einführung in die Methoden der numerischen Mathematik. Hauptanliegen ist es, die Grundideen der algorithmischen Lösung verschiedenster mathematischer Aufgaben möglichst klar werden zu lassen, um den Studenten in die Lage zu ver setzen, verwandte Fragestellungen selbständig zu bearbeiten sowie die erlernten Prinzipien auf neue Probleme anzuwenden. Um bei den Studenten die Freude an der Praxis zu wecken, sollte der Stoff mög lichst lebendig dargestellt werden, ohne die Grundgedanken der Verfahren mit bezeichnungs-und beweistechnischen Schwierigkeiten zu überdecken. Um praxisnah zu sein, sind die Algorithmen stets in einer Algol 60 ähnlichen Schreibweise angegeben, die unmittelbar programmierbar ist. An einfachen Bei spielen wird der Ablauf der Verfahren demonstriert. Besonderen Dank verdient Frl. Dr. Ingrid Brückner, die die erste Vorlesungsmit schrift anfertigte und am Entstehen des Buches wesentlich beteiligt war. Für ihre Mithilfe beim Lesen der Korrekturen danken wir Frl. Dr. Brückner, Herrn Prof. Dr. Homuth und Herrn cand. math. Jürgen Rüger. Wolfenbüttel und Stuttgart Wolfgang Böhm und Günther Gose im Frühjahr 1977 IV Inhaltsverzeichnis Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . III . . . . . . . . . . . I. Grundbegriffe 1. Algorithmen und Fehlerfortpflanzung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ... . 1 . . . . 1.1. Algorithmen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . 1 . . . . . . . . 1.2. Realisierung von Algorithmen .................................. 2 1.3. Die Beurteilung von Algorithmen ................................ 2 1.4. Aufgaben und Ergänzungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . 3 . . . . . .

Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Mehrschrittverfahren (Teubner Studienbücher Mathematik)

Numerische Lineare Algebra (German Edition) (Teubner Studienbücher Mathematik)

Methoden zur numerischen Behandlung nichtlinearer Gleichungen und Optimierungsaufgaben (Teubner Studienbücher Mathematik) (German Edition)

Eine Einführung in die numerische Behandlung von nichtlinearen stetigen und diskreten Optimierungsaufgaben für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker

In den letzten Jahren hat die Programmiersprache C immer mehr an Bedeutung gewonnen. Insbesondere wird bei der Entwicklung von CAD-Systemen verstärkt auf diese sehr flexible Sprache zurückgegriffen.Dieses Buch stellt einige mathematische Methoden vor, die häufig im CAD zur Anwendung kommen, und bietet Anregungen zur Implementation dieser Verfahren in C. Dabei wurde der Schwerpunkt nicht so sehr auf die mathematischen Hintergründe der Algorithmen gelegt, sondern auf deren programmiertechnische Umsetzung.Angesprochen werden sollen Leser, die an den mathematischen Metho den zur Entwicklung von CAD-Systemen interessiert sind, und die e igene Ideen in die Praxis umsetzen wollen.

Das Lehrbuch enthält eine umfangreiche und aktuelle Darstellung der numerischen Behandlung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen und differential-algebraischer Systeme. Neben theoretischen Fragestellungen werden praktische Aspekte der Implementierung und Anwendung von Verfahren und von Software diskutiert. Das Buch eignet sich für Studierende der Mathematik, Informatik, Physik und Ingenieurwissenschaften an Universitäten und Fachhochschulen. Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Analysis, der linearen Algebra und der Numerischen Mathematik, wie sie in den Mathematik-Grundvorlesungen geboten werden.

Das Lehrbuch enthält eine umfangreiche und aktuelle Darstellung der numerischen Behandlung von Anfangswertproblemen gewöhnlicher Differentialgleichungen und differential-algebraischer Systeme. Neben theoretischen Fragestellungen werden praktische Aspekte der Implementierung und Anwendung von Verfahren und von Software diskutiert. Das Buch eignet sich für Studierende der Mathematik, Informatik, Physik und Ingenieurwissenschaften an Universitäten und Fachhochschulen. Vorausgesetzt werden Kenntnisse der Analysis, der linearen Algebra und der Numerischen Mathematik, wie sie in den Mathematik-Grundvorlesungen geboten werden.

Das Buch ist ein Lehr-/ Arbeits-/ Softwarepaket in Buchform, das für Studenten gedacht ist, die sich die Numerische Mathematik "experimentell" aneignen wollen.Wie zu einem klugen Experiment in den Naturwissenschaften fundiertes Wissen, sachgerechter Versuchsaufbau und ein Schuß Imagination notwendig ist, so bietet das Werk entsprechendes für die Mathematik. Das Buch stellt die Verfahren und Möglichkeiten der Darstellung vor, die Software lädt den Benutzer dazu ein, sich den Gegenstand durch "Visualisierung und Experiment" anzueignen.

Da seit dem Erscheinen der ersten Auflage mehr als ein Dutzend Jahre vergangen sind, machte sich eine gründliche Überarbeitung des Bandes nötig. Das Kapitel "Gleichungssy steme" wurde erweitert durch Ausführungen zur Lösung von tridiagonalen linearen Glei chungssystemen; die Ausführungen zur Interpolation wurden stark verändert; der Ab schnitt "Anfangswertaufgaben bei gewöhnlichen Differentialgleichungen" wurde völlig neu verfaßt. Die moderne Entwicklung und der weitverbreitete Einsatz von elektronischen Rechen anlagen (Computern) üben starken Einfluß auf die numerische Mathematik aus. Zwischen numerischer Mathematik und Informatik haben sich enge Wechselbeziehungen entwik kelt. Die moderne Rechentechnik hat neue Maßstäbe in der Wertung und Einschätzung numerischer Verfahren gebracht, Einfluß auf die theoretische Weiterentwicklung der nu merischen Mathematik genommen, in großem Umfang zur Weiter-und Neuentwicklung numerischer Algorithmen geführt und es ermöglicht, immer größere und komplexere Pro bleme in Angriff zu nehmen. Dieser Entwicklung wurde bei der Überarbeitung dieses Bandes zum Beispiel bei der Auswahl der Verfahren und durch die relativ gründliche Be handlung von Stabilitätsfragen Rechnung getragen. Die Autoren versuchen der legitimen Forderung nach Querverbindungen zur Informatik auch dadurch nachzukommen, daß an das Ende jedes Kapitels ein Abschnitt "Programmierung und Software" angefügt wurde. Für drei ausgewählte grundlegende Verfahren werden Programmablaufpläne angegeben. Die Angabe von vollständigen Programmen oder von Programmablaufplänen für jedes Verfahren würde den Rahmen und den Umfang dieses Bandes sprengen und ist der Spe zialliteratur vorbehalten; ein Verzeichnis ausgewählter, weiterführenderSpezialliteratur ist dem eigentlichen Literaturverzeichnis beigefügt.

Die beiden zentralen Aufgaben der numerischen linearen Algebra, die Losung linearer Gleichungssysteme und die Losung des Eigenwertproblems, stellen Teil gebiete der numerischen Mathematik dar, welche einerseits eigenstandig neben anderen Teilgebieten wie Interpolation, Approximation, Losung von nichtlinearen Gleichungen und von gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen stehen, andererseits bei der Behandlung dieser Themen oft auch als Hilfsmittel benotigt werden. Die Konkurrenz zu diesen anderen wichtigen Teilgebieten fUhrt leider haufig da zu, daB in einfUhrenden LehrbUchern der numerischen Mathematik nur relativ wenig Raum fUr die Behandlung der Probleme der linearen Algebra bleibt. Andererseits ist aber in den letzten Jahren die Anzahl der speziellen Methoden in der nume rischen linearen Algebra stark angewachsen, wie z.B. die folgenden umfangreichen Monographien Uber relativ enge Teilgebiete zeigen: Varga [291], Householder [134], Wilkinson [309], [312], Forsythe & Moler [88], Young [317], Schwarz, Rutishauser & Stiefel [258], Ben-Israel & Greville [20], Lawson & Hanson [156], Berman & Plemmons [21], Parlett [206], George & Liu [103] und Hageman & Young [123]. Es ist unser Anliegen, einen kleinen Teil der LUcke zu schlieBen, die zwischen der notwendigerweise meist knappen Darstellung in einfUhrenden LehrbUchern der numerischen Mathematik und der umfassenden Behandlung der Probleme in der Spe zialliteratur besteht. Zum Verstandnis des Buches werden Kenntnisse der linearen Algebra und elementare Analysiskenntnisse vorausgesetzt in dem Umfang, wie sie ilblicherweise in den beiden ersten Semestern eines Hochschulfaches mit Mathematik-Anteil vermittelt werden; es setzt also etwa auf demselben Niveau ein wie die in die numerische Mathematik einfUhrenden BUcher.

Dieses praxisnahe Lehrbuch bietet eine intensive Einführung in elementare computerunterstützte Methoden der angewandten Mathematik und Datenkommunikation für Studierende der Technikerschulen und SchülerInnen der Berufsoberschulen und beruflichen Gymnasien. Alle numerischen Berechnungen werden in der Programmiersprache C geschrieben, zur Datenvisualisierung wird GNUPLOT verwendet. Über 80 Abbildungen mit meist vollständig abgedruckten Befehlsdateien sowie allen abgedruckten Quelldateien für die C-Programme ermöglichen es den Studierenden, sofort auch ohne tiefere Programmierkenntnisse einzusteigen. Die Lehrstoffaufbereitung ist auch für Lehramtsstudenten und Lehrer der Sekundarstufe II in den Fächern Mathematik, Technik, Informatik und Physik geeignet.

Eine Einführung in die numerische Behandlung von nichtlinearen stetigen und diskreten Optimierungsaufgaben für Mathematiker, Ingenieure und Informatiker

Die Konzepte numerischer Verfahren auf modernen Parallel- und Vektorrechnern stehen im Mittelpunkt dieser neuen Einführung. Studierenden und Anwendern der Bereiche Mathematik, Natur- und Ingenieurwissenschaften und Informatik werden die erforderlichen Kenntnisse und Fähigkeiten vermittelt, die eine effiziente Nutzung paralleler Strukturen in numerischen Anwendungen ermöglichen.

In den letzten Jahren hat die Programmiersprache C immer mehr an Bedeutung gewonnen. Insbesondere wird bei der Entwicklung von CAD-Systemen verstärkt auf diese sehr flexible Sprache zurückgegriffen.Dieses Buch stellt einige mathematische Methoden vor, die häufig im CAD zur Anwendung kommen, und bietet Anregungen zur Implementation dieser Verfahren in C. Dabei wurde der Schwerpunkt nicht so sehr auf die mathematischen Hintergründe der Algorithmen gelegt, sondern auf deren programmiertechnische Umsetzung.Angesprochen werden sollen Leser, die an den mathematischen Metho den zur Entwicklung von CAD-Systemen interessiert sind, und die e igene Ideen in die Praxis umsetzen wollen.

Diesem Buch liegen verschiedene Grund-und Spezialvorlesungen zur Theorie und Numerik der Optimierung, welche die Autoren in den zurückliegenden Jahren an der Technischen Universität Dresden vorrangig für Studenten der Mathematik ge­ halten haben, zugrunde. Ebenso sind Erfahrungen aus Gastlehrtätigkeiten an an­ deren Universitäten, insbesondere an der Universität Kuwait, eingeflossen. Das vorliegende Manuskript entstand aus dem Bedürfnis heraus, den Studieren­ den, aber auch mathematisch interessierten Naturwissenschaftlern und Ingenieuren ein Lehrbuch zur Verfügung zu stellen, in dem gemeinsam wesentliche Grundprin­ zipien für unterschiedliche Klassen von Optimierungsaufgaben behandelt werden. Dabei umfaßt das Spektrum der einbezogenen Probleme optimierungstheoretische Fragen, wie Existenz und Charakterisierung von Optima, Hauptlinien der algorith­ mischen Behandlung stetiger und diskreter Optimierungsprobleme bis hin zu spe­ ziellen Fragen, wie z.B. Dekompositionstechniken zur Berücksichtigung problem­ spezifischer Strukturen. Das Buch widmet sich schwerpunktmäßig endlichdimensionalen stetigen und diskreten Optimierungsproblemen, zeigt aber auch Verallgemeinerungen zu Auf­ gaben in Funktionenräumen auf. Dabei wird im Unterschied zu existierenden Lehrbüchern, bei denen endlichdimensionale Probleme als Spezialfall abstrakter Aufgaben mit skizziert werden, hier exemplarisch eine Sicht von den endlichdimen­ sionalen Problemen ausgehend auf die abstrakten Aufgaben angestrebt. Insbeson­ dere sollen damit auch Verbindungen der Numerik der Optimierung zu anderen mathematischen Spezialgebieten, wie z.B. zur Methode der Finiten Elemente und zur Diskretisierung von Variationsungleichungen aufgezeigt werden.

Die beiden zentralen Aufgaben der numerischen linearen Algebra, die Losung linearer Gleichungssysteme und die Losung des Eigenwertproblems, stellen Teil gebiete der numerischen Mathematik dar, welche einerseits eigenstandig neben anderen Teilgebieten wie Interpolation, Approximation, Losung von nichtlinearen Gleichungen und von gewohnlichen und partiellen Differentialgleichungen stehen, andererseits bei der Behandlung dieser Themen oft auch als Hilfsmittel benotigt werden. Die Konkurrenz zu diesen anderen wichtigen Teilgebieten fUhrt leider haufig da zu, daB in einfUhrenden LehrbUchern der numerischen Mathematik nur relativ wenig Raum fUr die Behandlung der Probleme der linearen Algebra bleibt. Andererseits ist aber in den letzten Jahren die Anzahl der speziellen Methoden in der nume rischen linearen Algebra stark angewachsen, wie z.B. die folgenden umfangreichen Monographien Uber relativ enge Teilgebiete zeigen: Varga [291], Householder [134], Wilkinson [309], [312], Forsythe & Moler [88], Young [317], Schwarz, Rutishauser & Stiefel [258], Ben-Israel & Greville [20], Lawson & Hanson [156], Berman & Plemmons [21], Parlett [206], George & Liu [103] und Hageman & Young [123]. Es ist unser Anliegen, einen kleinen Teil der LUcke zu schlieBen, die zwischen der notwendigerweise meist knappen Darstellung in einfUhrenden LehrbUchern der numerischen Mathematik und der umfassenden Behandlung der Probleme in der Spe zialliteratur besteht. Zum Verstandnis des Buches werden Kenntnisse der linearen Algebra und elementare Analysiskenntnisse vorausgesetzt in dem Umfang, wie sie ilblicherweise in den beiden ersten Semestern eines Hochschulfaches mit Mathematik-Anteil vermittelt werden; es setzt also etwa auf demselben Niveau ein wie die in die numerische Mathematik einfUhrenden BUcher.

Dieses praxisnahe Lehrbuch bietet eine intensive Einführung in elementare computerunterstützte Methoden der angewandten Mathematik und Datenkommunikation für Studierende der Technikerschulen und SchülerInnen der Berufsoberschulen und beruflichen Gymnasien. Alle numerischen Berechnungen werden in der Programmiersprache C geschrieben, zur Datenvisualisierung wird GNUPLOT verwendet. Über 80 Abbildungen mit meist vollständig abgedruckten Befehlsdateien sowie allen abgedruckten Quelldateien für die C-Programme ermöglichen es den Studierenden, sofort auch ohne tiefere Programmierkenntnisse einzusteigen. Die Lehrstoffaufbereitung ist auch für Lehramtsstudenten und Lehrer der Sekundarstufe II in den Fächern Mathematik, Technik, Informatik und Physik geeignet.

Die Konzepte numerischer Verfahren auf modernen Parallel- und Vektorrechnern stehen im Mittelpunkt dieser neuen Einführung. Studierenden und Anwendern der Bereiche Mathematik, Natur- und Ingenieurwissenschaften und Informatik werden die erforderlichen Kenntnisse und Fähigkeiten vermittelt, die eine effiziente Nutzung paralleler Strukturen in numerischen Anwendungen ermöglichen.

Das Buch ist ein Lehr-/ Arbeits-/ Softwarepaket in Buchform, das für Studenten gedacht ist, die sich die Numerische Mathematik "experimentell" aneignen wollen.Wie zu einem klugen Experiment in den Naturwissenschaften fundiertes Wissen, sachgerechter Versuchsaufbau und ein Schuß Imagination notwendig ist, so bietet das Werk entsprechendes für die Mathematik. Das Buch stellt die Verfahren und Möglichkeiten der Darstellung vor, die Software lädt den Benutzer dazu ein, sich den Gegenstand durch "Visualisierung und Experiment" anzueignen.

Diesem Buch liegen verschiedene Grund-und Spezialvorlesungen zur Theorie und Numerik der Optimierung, welche die Autoren in den zurückliegenden Jahren an der Technischen Universität Dresden vorrangig für Studenten der Mathematik ge­ halten haben, zugrunde. Ebenso sind Erfahrungen aus Gastlehrtätigkeiten an an­ deren Universitäten, insbesondere an der Universität Kuwait, eingeflossen. Das vorliegende Manuskript entstand aus dem Bedürfnis heraus, den Studieren­ den, aber auch mathematisch interessierten Naturwissenschaftlern und Ingenieuren ein Lehrbuch zur Verfügung zu stellen, in dem gemeinsam wesentliche Grundprin­ zipien für unterschiedliche Klassen von Optimierungsaufgaben behandelt werden. Dabei umfaßt das Spektrum der einbezogenen Probleme optimierungstheoretische Fragen, wie Existenz und Charakterisierung von Optima, Hauptlinien der algorith­ mischen Behandlung stetiger und diskreter Optimierungsprobleme bis hin zu spe­ ziellen Fragen, wie z.B. Dekompositionstechniken zur Berücksichtigung problem­ spezifischer Strukturen. Das Buch widmet sich schwerpunktmäßig endlichdimensionalen stetigen und diskreten Optimierungsproblemen, zeigt aber auch Verallgemeinerungen zu Auf­ gaben in Funktionenräumen auf. Dabei wird im Unterschied zu existierenden Lehrbüchern, bei denen endlichdimensionale Probleme als Spezialfall abstrakter Aufgaben mit skizziert werden, hier exemplarisch eine Sicht von den endlichdimen­ sionalen Problemen ausgehend auf die abstrakten Aufgaben angestrebt. Insbeson­ dere sollen damit auch Verbindungen der Numerik der Optimierung zu anderen mathematischen Spezialgebieten, wie z.B. zur Methode der Finiten Elemente und zur Diskretisierung von Variationsungleichungen aufgezeigt werden.

Das Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die Herr Prof. Dr. H. Ru t i - hau s e r und der Unterzeichnete an der Eidgenössischen Technischen Hoch schule in Zürich gehalten haben. Es richtet sich an Mathematiker und Physiker, aber auch an Ingenieure und Naturwissenschafter, die an numerischer Mathe matik der linearen Algebra interessiert sind. Für das Verständnis des Buches werden die Elemente der linearen Algebra und die Grundregeln der Matrizenrechnung vorausgesetzt, wie sie in den unteren Semestern eines Hochschulstudiums vermittelt werden. Ferner wird angenommen, daß der Leser mit elementaren Begriffen der numerischen Mathematik, wie sie etwa in dem im gleichen Verlag erschienenen Buch von Herrn Prof. Dr. E. S t i e fe 1, Einführung in die numerische Mathematik, behandelt werden, vertraut sei. An zwei Stellen wird die Variationsrechnung herangezogen, um in mehr ein führenden Betrachtungen einerseits die Problemklassen zu skizzieren, welche mit den nachfolgenden Methoden gelöst werden können, und um anderseits die pro blemgerechte Vorbereitung darzulegen. Die Kenntnis der Formelsprache ALGOL ist nützlich aber nicht unbedingt erforderlich, da die entsprechenden Textteile übersprungen werden können. Das Buch behandelt grundsätzlich nur Probleme der linearen Algebra, deren Lösung auf eine Aufgabe mit symmetrischer Matrix zurückgeführt werden kann.

Das Buch ist aus Vorlesungen hervorgegangen, die Herr Prof. Dr. H. Ru t i - hau s e r und der Unterzeichnete an der Eidgenössischen Technischen Hoch schule in Zürich gehalten haben. Es richtet sich an Mathematiker und Physiker, aber auch an Ingenieure und Naturwissenschafter, die an numerischer Mathe matik der linearen Algebra interessiert sind. Für das Verständnis des Buches werden die Elemente der linearen Algebra und die Grundregeln der Matrizenrechnung vorausgesetzt, wie sie in den unteren Semestern eines Hochschulstudiums vermittelt werden. Ferner wird angenommen, daß der Leser mit elementaren Begriffen der numerischen Mathematik, wie sie etwa in dem im gleichen Verlag erschienenen Buch von Herrn Prof. Dr. E. S t i e fe 1, Einführung in die numerische Mathematik, behandelt werden, vertraut sei. An zwei Stellen wird die Variationsrechnung herangezogen, um in mehr ein führenden Betrachtungen einerseits die Problemklassen zu skizzieren, welche mit den nachfolgenden Methoden gelöst werden können, und um anderseits die pro blemgerechte Vorbereitung darzulegen. Die Kenntnis der Formelsprache ALGOL ist nützlich aber nicht unbedingt erforderlich, da die entsprechenden Textteile übersprungen werden können. Das Buch behandelt grundsätzlich nur Probleme der linearen Algebra, deren Lösung auf eine Aufgabe mit symmetrischer Matrix zurückgeführt werden kann.

Grundlagen der Numerischen Mathematik und des Wissenschaftlichen Rechnens Produkttyp: ABIS_BOOK Marke: Vieweg+Teubner Verlag

Die praktische Mathematik beschäftigt sich mit Verfahren zur Lösung typischer mathematischer Grundaufgaben, die in Anwendungsgebieten der Mathematik und in der Praxis auftreten, sowie mit der mathematischen Analyse und Behandlung dieser Verfahren. In naturwissenschaftlichen und technischen Anwendungsgebieten handelt es sich bei diesen Aufgaben zum Beispiel um die Berechnung spezieller Funktionen, die näherungsweise Berechnung von Differentialquotienten und von Integralen dieser Funktionen, um die Lösung algebraischer Gleichungen, von linearen und nichtline aren algebraischen Gleichungssystemen, um die näherungsweise Lösung von Differential-und Integralgleichungen und so weiter. Für die Praxis ist man dabei vorwiegend an Methoden interessiert, die die näherungsweise, numerische Lösung der Aufgaben gestatten. In diesem Buch werden die üblichen Vorkenntnisse der Differential- und Integralrechnung sowie der linearen Algebra aus dem ersten Jahr des Mathematikstu diums vorausgesetzt. Die numerischen Übungsaufgaben sind so gestellt, daß sie im Rahmen eines Mathematischen Praktikums auf programmierbaren digitalen Rechen maschinen gelöst werden können. Ein Teil der Aufgaben läßt sich bereits auf programmierbaren Taschenrechnern bearbeiten. Zahlreiche Taschenrechnerpro gramme mit detaillierten Beschreibungen der numerischen Algorithmen sind in einem Buch des zweiten Autors zu finden. Die problemorientierten Programmierungsspra chen moderner Großrechenanlagen gestatten ohne weiteres das Rechnen im Bereich der komplexen Zahlen. Eine Reihe von Aufgabenstellungen wie zum Beispiel die Bestimmung von Nullstellen bei Polynomen oder von Eigenwerten bei Matrizen ist im allgemeinen Fall nur im Körper der komplexen Zahlen vollständig lösbar.

Die Idee zu diesem Text entstammt meinem immer wieder unglaubigen Erstaunen daruber, daB selbst erfahrene Ingenieure, Physiker oder Mathematiker ihre Pro gramme lieber vollstandig selbst schreiben als Programmpakete zu benutzen. Ja, selbst einige meiner Numerik-Diplomanden erachten es als eine Zumutung, wenn ich verlange, daB gewisse Teile ihrer Programme durch Bibliotheks-Routinen er setzt werden. Woran liegt das? These 1: "Programmpakete sind entweder gut oder leicht bedienbar. " Diese These klingt sehr rigoros, enthiilt aber sicher einen wahren Kern. Da gibt es benutzerfreundliche Dialog-Systeme zur Losung numerischer Probleme auf einem PC, die den Benutzer sanft von den Problemstellungen uber die Verfahrensauswahl bis zur Parameter-Eingabe und Losung geleiten, aber nichts zur Fehleranfiilligkeit der Algorithmen sagen, ungenaue Funktionen verarbeiten oder zweideutige Routi nen enthalten, Beispiele findet man in [30]. Andererseits gibt es Pakete wie NAG!, die uber Hunderte von Routinen verfugen. Sie sind in vielen Jahren Arbeit mit sorgfaltiger Problemanalyse, Programmierung und Test entstanden und werden durch neue Releases regelmaBig "gewartet". Ihr Manual fUllt aber viele dicke Ordner. Das schreckt viele Benutzer abo Dabei wird man doch belohnt mit fehlerfreien Programmen, moglichst exakten Ergebnissen, graphischen Darstellungsmaglichkeiten und genau definierten Programmablaufen. These 2: "Jedes Programm mit mehr als 50 Zeilen ist falsch. " Diese These trifft leider ebenso haufig zu, wie sie auf Widerspruch staBt. Durch die VerfUgbarkeit guter Programmpakete ist es immer sinnloser geworden, daB der Mathematiker, der Naturwissenschaftler oder der Ingenieur die Losungsroutinen fUr seine numerischen Standardprobleme selbst programmiert.

Hauptziel des vorliegenden zweiten Teils der Numerik von An fangswertaufgaben gewöhnlicher Differentialgleichungen ist es, die heute zur Verfügung stehenden Verfahren einschließ lich ihrer mathematischen Behandlung darzustellen. Dementsprechend ist wie im ersten auch in diesem Teil der Versuch unternommen worden, die wirkungsweise der Verfahren allein, in meist gesonderten Abschnitten, zu beschreiben, die losgelöst von den detaillierteren mathematischen Untersuchun gen verstanden werden können und insbesondere auch für den vorwiegend anwendungsorientierten Leser gedacht sind. In den anderen Passagen des Buches ist dann soweit wie möglich das Studium der mathematischen Eigenschaften der Verfahren vorge nommen worden. Wenn die Durchführung eines solchen Programms auch nur unter Beschränkungen in der Stoffauswahl möglich ist, so ist doch versucht worden, die heute gängigen Verfahren, auch speziell für die sog. steifen Differentialgleichungssysteme, aufzu nehmen. Auch die in den letzten Jahren in Gang gekommene Ver wendung von Mehrschrittverfahren mit variablen Schrittweiten ist berücksichtigt worden. Ebenso werden Verfahren für Syste me höherer Ordnung mit Möglichkeiten der Reduzierung des Rundungsfehlereinflusses dargestellt. Die mathematische Analyse ist so angelegt worden, daß damit möglichst auch die in der Praxis Verwendung findenden Ver fahren er faßt werden. Demgemäß sind die Stabilitätsfragen ausführlich behandelt worden. Konvergenzuntersuchungen werde~ wenigstens ansatzweise, für variable Schrittweiten vorgenom men, bei Systemen höherer Ordnung auch für die Differenzen quotienten bis zur Ordnung der Differentialgleichung. Eingang gefunden haben auch asymptotische Entwicklungen und neuere Ergebnisse über optimaleFehlerabschätzungen.