teubner numerische mathematik

Das dynamische Verhalten zahlreicher industrieller Prozesse andert sich prozeB bedingt oder ungewollt mit der Zeit. Eine zufriedenstellende Regelung solcher Prozesse setzt moglichst genaue Kenntnisse ihres dynamischen Verhaltens voraus. Ihre mathematischen Modelle sollten moglichst genau bekannt sein. Die mathe matischen Modelle konnen in vielen Fallen nur experimentell gefunden werden, da eine rechnerische Modellerstellung meist zu aufwendig oder sogar unmoglich ist. Bisher wurde noch nie versucht, den Problemkreis der Identifikation von Regel systemen mit veranderlichen Parametern, sogenannter zeitvarianter Systeme, ge schlossen darzustellen. Daher erfolgt zunachst eine Zusammenstellung notwendiger Grundlagen aus der Theorie zeitvarianter Systeme. Besondere Beachtung finden zeitvariante Systeme mit zufalligen Parameteranderungen und/oder zufalligen Eingangssignalen (zeitvariante stochastische Systeme). Probleme der Identiftkation zeitvarianter Systeme werden aufgezeigt und ausgewahlte Arbeiten in libersicht licher Form Zllsammengestellt. Das vorliegende Buch kann und will infolge des umfangreichen Fachgebietes keinen Anspruch auf Vollstandigkeit erheben. Es soIl sowohl den praktisch tiitigen als auch den theoretisch interessierten Leser mit diesem Problemkreis vertraut machen. Flir die fachlichen Ratschlage im Zuge des Entstehens dieser Arbeit danke ich Herrn Prof. Dr. K.H. Fasol. Die numerischen Berechnungen in Abschnitt 1.2.1.3 wurden von M. Oswatitsch ausgeftihrt. Meiner Frau danke ich fur das Lesen der Korrekturen und Frau E. Eder fur die sorgfaltige Anfertigung der Reinschrift. Herm A. Schubert yom Verlag Vieweg danke ich fUr das Verstandnis und das Eingehen auf meine Wtinsche.

Das vorliegende Buch entstand aus Forschungsergebnissen, die der Verfasser größtenteils im Rahmen des Teilprojekts "Das Schwingungsverhalten von Bauwerken bei Berücksichtigung von Kopplungen mit der Umgebung" des Sonderforschungs bereichs "Tragwerksdynamik" (SFB 151) erarbeitet hat, und die teilweise in Zeit schriften veröffentlicht oder auf internationalen Tagungen vorgetragen wurden. Es der Randelementmethode auf dynamische beschreibt Anwendungsmöglichkeiten Probleme, die im wesentlichen im Bereich des Erdbebeningenieurwesens auftreten. Es ist also in erster Linie für Ingenieure gedacht, aber auch für Mathematiker und Naturwissenschaftler in der Praxis und an Hochschulen interessant. In der ersten Hälfte des Buches werden die physikalischen Grundlagen, die analytischen Transformationen und numerischen Approximationen erläutert, die schließlich die Randelementprozeduren ergeben, mit deren Hilfe Anfangs-Rand wertprobleme der Elasto- bzw. der Fluiddynamik gelöst werden können. Die zweite Hälfte enthält Anwendungsbeispiele, vorwiegend zur Wellenausbreitung im Boden und in kompressiblen Flüssigkeiten. Es wird die Reaktion masseloser, flexibler und starrer Streifenfundamente bei beliebigen dynamischen Lastein wirkungen, z.B. bei einlaufenden Wellen, untersucht. Ein weiteres Gebiet ist das der Druckwellenausbreitung in Staubecken oder der Schallausbreitung in Luft. Schließlich wird unter Berücksichtigung der dynamischen Kopplung von elastischen und akustischen Medien die dynamische Interaktion, z.B. am System Staudamm - Staubecken - Beckenboden behandelt. Durch die vorgestellten Beispiele wird deutlich, welche Vorteile die Anwendung der Methode der Randelemente gerade bl~i Problemstellungen der Dynamik hat.

Sto~t man auf eine besonders elegante Formulierung eines Algorithmus, so fragt man sich meist, wie der Autor auf die entsprechende Programmieridee gekommen ist. Mustert man eine Vielzahl von Algorithmen genauer, so erkennt man, d~ es etwa ein Dutzend grund legender Programmiertechniken gibt. Im vorliegenden Band sollen daher einige solche Pro grammierprinzipien wie - Top-down-Prinzip - Rekursion - Iteration - Backtracking-Verfahren - Teile-und-Herrsche-Prinzip - Greedy-Algorithmen vorgestellt werden. Thre Realisierung wird an Hand von 25 vollstandigen BASIC-und Pascal-Programmen diskutiert. Diese Programme sind vielfaltigen Bereichen entnommen: Neben numerischen und unterhaltungs-mathematischen Problemen werden auch kombi natorische, Sortier-und Operations-Research-Fragen behandelt, z.B. - Permutationen - Springerzug - Labyrinth - Quicksort - Rucksackproblem - Travelling-Salesman. Viele Algorithmen sind durch Struktograrnme erkliirt und konnen damit gegebenenfalls in andere Programmiersprachen iibertragen werden. Anzing, Oktober 1983 Einfiihrung W?hrend in der FrUhzeit des Programmierens die Programmerstellun~ mehr oder weniger Sache des personlichen Geschmacks bzw. Geschicks war, hat sich mittlerweile das "Software-Engineering" entwickelt, das eine ganze Reihe von Anforderungen an Pro gramme erstellt. Ausgangspunkt war die Entwicklung des strukturierten Prograrnrnierens, die sich in dem Buch "Structured Prograrnrning" von Dijkstra, Hoare und Dahl (1972) niederschlug. Vorausgegangen war die beriihmte Kontroverse um Dijkstra 's "GOTO-considered harmful" (1968). ZieI des Strukturierens war, unter strikten Anwendung der Kontrollstrukturen - repetive Anweisung (FOR .. DO,REPEAT .. UNTIL,WHlLE .. DO) - alternative Anweisung (IF .. THEN .. ELSE,CASE .. OF) - Verbundanweisung (BEGIN .. ENO) und unter Vermeidung der Sprunganweisung (GOTO) den Programmablaufiiberschaubar und kontrollierbar zu machen.

Dieses Buch ist aus Vorlesungen für Mathematiker und Informatiker an der Technischen Universität München entstanden. Die Bedeutung der Spieltheo rie wird in der Einleitung ausführlich dargestellt. Die Druckvorlage wurde mit Jb. 'IE;X2 erstellt und die Bilder, mit Ausnahme c der Screenshots, wurden mit METAPOST /MFPIC gezeichnet und eingebunden. Bei Beispielen und den Lösungen der Aufgaben wird die Verwendung der Softwarepakete MAPLE@ und GAMBIT aufgezeigt. MAPLE@ ist ein kom merzielles Produkt und GAMBIT ist für nichtkommerzielle Zwecke frei verfügbar. München im Sommersemester 2004 Walter Schlee Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 1 2 Spiele in Normalform 7 2. 1 Definition . . . . . 7 2. 2 Beispiele . . . . . . 11 2. 3 Grundlegende Ergebnisse. 20 2. 3. 1 Abbildung der besten Antwort. 20 23 2. 3. 2 Äquivalenz . . . . . . 2. 3. 3 Spezielle Spiele . . . . . . . 27 2. 3. 4 Gemischte Strategien . . . . 29 33 2. 4 Existenz eines Nash-Gleichgewichts 3 Endliche Spiele 37 3. 1 gemischte Erweiterung . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3. 1. 1 Existenz eines Nash-Gleichgewichts . . . . . 37 3. 1. 2 Reduktion der Menge der reinen Strategien. 41 3. 2 Zweipersonen-Konstantsummen-Spiel. . . . . . . . 44 3. 2. 1 Sattelpunktseigenschaft der Nash-Gleichgewichte 45 3. 2. 2 Lösung bei stark gemischten Gleichgewichtsstrategien 52 3. 2. 3 Graphische Lösung . . . . . . . . . . . 54 3. 2. 4 Lineare Optimierung als Spielproblem . 57 3. 2. 5 Test auf Dominanz bei Strategien . 61 3. 3 Bimatrix-Spiel. . . . . . . . . . . . . . . . 66 3. 3. 1 Zweipersonen-Zweistrategien-Spiel. 66 3. 3. 2 Allgemeines Zweipersonen-Spiel . . 70 3. 4 Numerische Berechnung im allgemeinen Fall 77 3. 4. 1 Drei Ansätze zur Berechnung . . . . 77 Das Komplementaritätsproblem . . .

Operations Research befaßt sich mit der mathematischen Analyse technisch-wirtschaft licher Probleme und Systeme. Man hat es dabei immer mit mehr oder weniger ausge prägten Unsicherheiten und Ungewißheiten zu tun. Oft kann man die Unsicherheiten vernachlässigen und mit Schätzungen, mittleren oder erwarteten Werten arbeiten. Es gibt jedoch Probleme, deren Wesen gerade durch den Zufall bestimmt ist. Man würde den Kern des Problems nicht treffen, wollte man versuchen, den Zufallsfaktor zu eli minieren. In solchen Fällen muß das Problem mit wahrscheinlichkeitstheoretischen oder stochastischen Methoden angepackt werden. Man hat es dabei fast immer mit dynamischen, zeitlichen Abläufen zu tun. Die Pro bleme fallen daher in das Gebiet der stochastischen Prozesse. Die grundlegenden Instru mente zur Behandlung der stochastischen Probleme des Operations Research bilden die Erneuerungstheorie und die Theorie der Markoff-Ketten (Kapitel 2 und 3). Wichtige Anwendungen davon treten bei den Warteschlangensystemen (Kapitel4) und der dyna mischen Optimierung (Kapitel 5) auf. Von vorrangiger, praktischer Bedeutung ist die numerische Behandlung der stochastischen Probleme des Operations Research. Hierflir legen die Simulations-und Monte-Cario-Methoden (Kapitel 6) weitreichende Ansätze bereit. Es wird hier keinesfalls eine umfassende, vollständige Darstellung der einzelnen Gebiete angestrebt. Im Vordergrund steht vielmehr eine Einführung in die wichtigsten, ftir die jeweiligen Problemkreise charakteristischen Gedankengänge. Selbstverständlich beruhen die dargestellten stochastischen Methoden auf der allgemeinen Wahrscheinlichkeits theorie. Daher ist im Kapitell eine knapp gehaltene Einführung in die Wahrscheinlich keitstheorie vorangestellt, die derenwesentlichsten Ergebnisse enthält, wobei zum größten Teil auf die Beweise verzichtet wurde. Der Leser, der mit der Wahrscheinlich keitstheorie vertraut ist, kann dieses Kapitel überspringen.

Das Buch entstand aus einem Vorlesungsmanuskript, das der Autor an der Christian-Albrechts-Universität zu Kiel fUr Studenten der Mathematik gelesen hat. Es versucht, den heutigen Stand der iterativen und damit verwandten Verfahren zu beschreiben, ohne allerdings auf zu spezielle Gebiete einzugehen. Mit der Beschränkung auf iterative Ver fahren ist bereits ein Auswahl getroffen: Verschiedene schnelle, direkte Verfahren für spezielle Aufgaben wie auch optimierte Versionen der Gaußschen Eliminationsmethode bzw. des Cholesky-Verfahrens oder die Bandbreitenreduktion werden nicht berUcksichtigt. Obwohl das besondere Interesse den modernen, effektiven Verfahren (konjugierte Gradienten, Mehrgitterverfahren) gilt, wird auch Wert auf die Theorie der klassischen Iterationsverfahren gelegt. Andererseits werden einige effektive Algorithmen nicht oder nur am Rande berUck sichtigt, wenn sie zu eng mit Diskretisierungstechniken verknUpft sind. Die iterative Behandlung nichtlinearer Problemen oder Eigenwertauf gaben bleibt völlig unerwähnt. Ein Kapitel Uber die in vielen Bereichen auftretenden Sattelpunktprobleme (spezielle indefinite Aufgaben) wurde aus GrUnden des Buchumfanges nicht verwirklicht. Das Buch setzt keine speziellen Kenntnisse voraus, die Uber die Anfangsvorlesungen "Analysis" und "Lineare Algebra" hinausgingen. Die aus der Linearen Algebra benötigten Grundlagen sind noch einmal in Kapitel 2 dieses Buches zusammengestellt. Damit soll zum einen eine geschlossene Darstellung ermöglicht werden, zum anderen ist es notwendig, die aus der Linearen Algebra bekannten Sätze in die hier benötigte Formulierung zu bringen. Vom Umfang her eignet sich eine Auswahl des vorliegenden Stoffes fUr eine 4-stUndige Vorlesung nach dem Vordiplom. Eine Teilauswahl ist auch fUr die Vorlesung "Numerische Mathemati 11" empfehlenswert.

1 Einführung in die Programmierung und QBasic.- Wozu verwendet man Computer?.- Was ist ein Computerprogramm?.- Wie kann ich ein Computerprogramm schreiben?.- Wie hilft mir dieses Buch, QBasic zu erlernen?.- QBasic als Bestandteil von MS-DOS 5.- 2 Die ersten Schritte mit QBasic.- QBasic starten.- Der QBasic-Bildschirm.- Ihr erstes Programm.- Starten eines neuen Programms.- Laden eines bestehenden Programms.- Beenden von QBasic.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 3 Einführung in die Sprache QBasic.- Aufbau einer QBasic-Anweisung.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 4 QBasic-Variablen und -Operatoren.- Was wollen Sie speichern.- Die Verwendung von Variablen - ein Überblick.- Zeichenketten-Variablen in QBasic.- Numerische Variablen in QBasic.- Eingabeinformationen in einer Variablen speichern.- Mathematische Operatoren in QBasic.- Die CONST-Anweisung.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 5 Beeinflussen des Programmablaufs.- Einführung in das Treffen von Entscheidungen.- Die IF-Anweisung.- Die SELECT CASE-Anweisung.- Welche Art der bedingten Anweisung Sie verwenden sollten.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 6 Mit QBasic-Schleifen arbeiten.- Einführung in QBasic-Schleifen.- Die FOR-Anweisung.- Die WHILE-Anweisung.- Die DO-Anweisung.- Verschachteln unterschiedlicher Schleifenarten.- Praktische Anwendungen für QBasic-Schleifen.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 7 Anlegen eigener Unterprogramme und Funktionen.- Warum Prozeduren?.- Erzeugen von Unterprogrammen.- Verwendung von Variablen in Prozeduren.- Erzeugen von Funktionen.- Was sollten Sie verwenden?.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 8 Die Bearbeitung großer Datenmengen.- Informationen speichern und zurückladen.- Mit Feldern arbeiten.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 9Mit Zeichenketten arbeiten.- Zeichenketten: Ein Überblick.- Zeichenkettentypen.- Anwendung von Zeichenketten-Funktionen.- Zeichenketten vergleichen.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 10 Mit Dateien arbeiten.- Das Anlegen und die Verwendung sequentieller Dateien.- Verwalten einer Datenbank mit sequentiellen Dateien.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 11 Mit Grafiken und Tönen arbeiten.- Einführung in die Grafikprogrammierung.- Textmodus.- Grafikmodus.- Komplexe Figuren anlegen.- Schlußbetrachtungen zu QBasic-Grafiken.- Einführung in die Programmierung mit Tönen.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 12 Fehlersuche in QBasic-Programmen.- Die Praxis der Fehlersuche.- QBasic-Menübefehle.- Variablenverfolgung mit PRINT.- Schrittweises Austesten eines Programms.- Zusammenfassung.- Fragen und Aufgaben.- 13 Mehr über BASIC lernen.- Was Sie gelernt haben.- Was Sie noch lernen sollten.- Weitere BASIC-Versionen.- Der Microsoft QuickBASIC-Compiler.- Zusammenfassung.- Anhang A Anwendung der QBasic-Menüs und -Optionen.- Auswahl von Menüs und Befehlen.- Anwendung von Dialogfenstern.- Tastenabkürzungen für die Menübefehle.- Tastenbefehle zum Editieren.- Markieren von Text.- Hilfe anfordern.- Drucken.- Bildschirmfarben ändern.- Start-Optionen.- Anhang B ASCII- und erweiterter IBM-Zeichensatz.- Anhang C QBasic-Anweisungen und -Funktionen.- Anweisungen.- Funktionen.- Anhang D GW-BASIC Programme an QBasic anpassen.- Ältere BASIC-Versionen.- GW-BASIC Programme unter QBasic ausführen.- Vorteile von QBasic nutzen.- Anhang E Lösungen zu den Fragen und Aufgaben.- 2.- 3.- 4.- 5.- 6.- 7.- 8.- 9.- 10.- 11.- 12.- Sachwortverzeichnis.