teubner numerische mathematik

George Boole (I815-1864) flihrte in seinem Buch "The Laws of Thought" die erste systematische Behandlung der Logik ein und entwickelte zu diesem Zweck die algebraische Struktur, die heute als Boolesche Algebra bekannt ist. Nur wenige mathematische Werke der vergan­ genen hundert Jahre haben auf die Mathematik und Philosophie einen groBeren EinfluB ausgetibt als dieses bertihmte Buch. Die Bedeutung dieses Werkes hat Augustus De Morgan mit folgenden Worten zum Ausdruck gebracht: "DaB die symbolischen Prozesse der Algebra, ursprlinglich zum Zweck numerischer Rechnungen erfunden, fiihig sein sollten, jcden Akt des Denkens auszudrlicken und Grammatik und Worterbuch eines allumfassenden Systems der Logik zu liefem, dieses hiitte niemand geglaubt, bevor es in "Laws of Thought" bewiesen wurde. " AuBer in der Logik hat die Boolesche Algebra in der Hauptsache zwei andere wichtige Anwendungen gefunden. Die erste rtihrt von der Tat­ sache her, daB die Boolesche Algebra das naturgegebene Werkzeug flir die Behandlung der Verkntipfungen von Mengen von Elementen durch die Operationen von Durchschnitt und Vereinigung darstellt. Zusammen mit dem Begriff der "Anzahl der Elemente" einer Menge gibt die Boolesche Algebra auch die Grundlage fUr die Theorie der Wahrscheinlichkeitsrechnung abo Dartiber hinaus ist die Mengenalgebra auch in vielen anderen Zweigen der Mathematik von Bedeutung. Vor etwa zwanzig Jahren erschlo13 Claude E. Shannon in zwei Arbeiten der Booleschen Algebra einen neuen Anwendungsbereich, indem er nachwies, daB sie sich zur Darstellung der grundlegenden Eigenschaften von Serien- und Parallelschaltungen bistabiler elektrischer Elemente, wie Schalter und Relais, besonders gut eignet.

Das vorliegende Buch, als Lehrbuch neben einem Mathematik-Grundkurs für Ingenieurstudenten gedacht und angelegt, nimmt in der Reihe "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaitier" eine zentrale Stellung ein. Einerseits wird beim Leser die Kenntnis der Differentialrechnung für Funktionen von einer reel len Variablen vorausgesetzt, und andererseits werden wichtige, im Studienablauf an späterer Stelle liegende Gebiete wie die gewöhnlichen und die partiellen Dif ferentialgleichungen, die Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variabler, die Tensoranalysis und alle Gebiete der Optimierung unmittelbar vorbereitet. Durch seinen Charakter als Grundlagenwerk ist es auch für Studenten des Lehr amts an Realschulen und Gymnasien besonders geeignet. Der vorliegende Text ist aus den früheren Auflagen durch eine wesentliche Neubearbeitung hervorgegangen. Dabei wurde die Vertiefung der mathemati schen Allgemeinbildung als wichtiges Anliegen beibehalten, zugleich aber noch stärker auf ingenieurwissenschaitliche Anwendungen orientiert. Unter anderem wird eingegangen auf singuläre Punkte von Nivea.ulinien, das Newton-Verfahren zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme sowie auf orthogonale krummlinige Koordinaten und ihre Anwendung auf strömungsmechanische Pro bleme. Die Verfasser danken Frau M. Ga.ede herzlich für die mit großer Sorgfalt vor genommene Übertragung des Manuskripts in eine reproduktionsreife Druckvor lage. Dem Verlag sei für die gute Zusammenarbeit aufrichtig gedankt.

Die Tensorrechnung entstand Anfang des 19. Jahrhunderts. Sie wird vor al­ lem in der Physik und im engeren Sinn in der Kontinuumsmechanik, in der auch die nicht-newtonschen Fluide mit behandelt werden, angewendet. Der Tensorkalkül ist eine wichtige Methode, um physikalisch-technische Vorgänge mathematisch zu formulieren. Mit ihm lassen sich die Grundgleichungen der Physik universell und für die numerische Behandlung geeignet darstellen. Die physikalischen Vorgänge sind dabei unabhängig von der Wahl des benutzten Koordinatensystems. Das Koordinatensystem paßt man oft den Rändern des zu lösenden Problems an. Der Tensorkalkül eignet sich auch zur Beschreibung von Stoffgleichungen [Bac83] der Materialien und Fluide, die sich nicht linear und nicht isotrop ver­ halten und bei denen große Verformungsgeschwindigkeiten oder Verformungs­ beschleunigungen auftreten. Während in der Physik die tensorielle Darstellung der Gleichungen schon seit langem üblich ist, setzt sie sich in der technischen Fachliteratur gegenwärtig erst durch. Das vorliegende Buch geht auf Anregungen zurück, die ich zum einen aus Vorle­ sungen meines verehrten Lehrers, Herrn Prof. em. Dr. W. Schultz-Piszachich, und zum anderen aus meiner eigenen Lehrtätigkeit an der Otto-von-Guericke­ Universität Magdeburg erhielt. Als Einführung in die Tensorrechnung erhebt es selbstverständlich keinen Anspruch auf Vollständ.igkeit. Auf umfangreiche technische Anwendungen der Tensorrechnung wurde bewußt verzichtet; im Li­ teraturverzeichnis wird der Leser auf weitergehende und umfassendere Darstel­ lungen verwiesen.

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem Problem: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen gut, die in großer Vielzahl auf ihn ein stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die Analysis hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren Analysis hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit einneuer Weg beschritten wird.

Dynamische Systeme konnen durch mathematische Gleichungen modelliert werden, die eine eindeutige V orschrift zur Berechnung der zeitlichen Entwicklung des Systemzustandes darstellen, so daB die Bewegung des Systems vollstandig durch den Anfangs­ zustand bestimmt ist. Trotz dieser Determiniertheit stellt sich bei der numerischen Berechnung der Losungskurven oder bei Beob­ achtungen in realen Experimenten haufig hera us, daB sich der Zustand des Systems in au Berst komplizierter und unregelmaBiger Weise mit der Zeit andert und daB eng benachbarte Startbedin­ gungen nach endlicher Zeit zu vollig unterschiedlichen Zustanden fiihren konnen. Man spricht dann von chaotischen Bewegungen bzw. nennt das betreffende System chaotisch. In den letzten 10 bis 15 Jahren sind betrachtliche Fortschritte im Verstandnis der Dynamik nichtlinearer deterministischer Systeme gemacht worden. Das Konzept des chaotischen (oder seltsamen) Attraktors, verbunden mit den Vorstellungen von fraktaler Dimension, Entropie und universellen Bifurkations­ sequenzen auf dem Wege zum Chaos, hat zu einem neuen Denken beziiglich dieser Systeme gefiihrt. Dabei ist u. a. auch klar gewor­ den, daB Chaos nicht einfach mit Unordnung oder Regellosigkeit gleichgesetzt werden kann. An die Stelle von Gleichformigkeit .oder Periodizitat treten andere Ordnungsbegriffe, die eng mit Selbstahnlichkeit, Skaleninvarianz und Universalitat verbunden sind. Einen wesentlichen Beitrag zu diesem neuen Verstandnis hat die moderne Rechentechnik geleistet. Da Chaos untrennbar mit Nichtlinearitat verbunden ist, deren mathematische Behandlung sich in den meisten Fallen als auBerordentlich schwierig erweist, konnten viele interessante Fragestellungen und teilweise sehr all­ gemeine GesetzmaBigkeiten chaotischer Bewegungen erst auf der Basis ausgedehnter numerischer Berechnungen formuliert bzw.

Die speziellen Funktionen, insbesondere die elliptischen Funktionen, hatten in Physik und Technik stets ungeheure Bedeutung und wurden in den Vorlesungen der Hochschulen im 19. und be ginnenden 20. Jahrhundert entsprechend berücksichtigt. Später sind die speziellen Funktionen aus den Vorlesungen verschwunden, und es traten die strukturellen Gesichtspunkte der Mathematik in den Vordergrund. Dies hat zu einer gewissen Entfremdung zwischen Anwendungen und theoretischer Ausbildung im Vorlesungsbetrieb geführt. Allerdings haben im angelsächsischen Sprachraum die speziellen Funktionen stets durch Bücher und Tafelwerke Berücksichtigung gefunden, entsprechend ihrer Bedeutung sowohl für Anwendungen der Mathematik wie auch für theoretische Begriffsbildungen. Durch den Computer (bzw. seinen kleinen Bruder, den Taschenrechner) ist die Freude am numerischen Rechnen ganz bedeutend gestiegen. Wegen erhöhter Genauigkeitsansprüche in Physik· und Technik kann man sich heute nicht mehr mit linearen Näherungen begnügen (berühmtes Beispiel: das Pendel); dadurch braucht auch der Ingenieur und Physiker die speziellen Funktionen, im besonderen die elliptischen Funktionen. Es ist zu begrüßen, daß der Autor P. Kahlig, von dem schon analoge Veröffentlichungen vorliegen, einen Band über die elliptischen Funktionen und die Theta-Funktionen herausbringt, deren Bedeutung auch für die Wärmeleitung und Diffusion ja wohlbekannt ist. Genaue Funktionswerte sind somit jedem Anwender schnell und leicht zugänglich. Es ist diesem Band weite Verbreitung zu wünschen. Univ. Prof. Dr. Dr. h.c. Edmund Hlawka, Institut für Analysis, Technische Mathematik und Versicherungs mathematik der Technischen Universität sowie Institut für Mathematik der Universität Wien. Wirkl. Mitglied derÖsterr. Akademie der Wissenschaften, Mitglied der Deutschen Akademie der Naturforscher, korrespond.

Dieses Buch dient der Einfuhrung in die nunmehr im wesentlichen abgeschlossene Theorie der Lichtfiihrung in dielektrischen Wellenlei­ tern. Zum physikalischen Verstiindnis wird in Kurze die klassische Me­ thode der Analyse von vorgegebenen nicht-optimalen Brechzahlprofilen vorgefuhrt und in die sehr umfangreiche Literatur eingefiihrt. Die Feld­ verteilungen sind im Falle der sogenannten Stufenindexfaser mit Hilfe von Zylinderfunktionen darstellbar. In optimalen Fasern sind die Impulsverzerrungen uber der Frequenz einzuebnen. Es ergeben sich dann als Losungen optimale Profile fUr die Brechzahl. Die Feldverteilungen werden ebenfalls gefunden und darge­ stellt, als Ergebnis von numerischen Rechnungen, ohne naherungsweise Benutzung von Standard-Funktionen, die unwichtig geworden sind. Auf diesen Umstand sei besonders verwiesen. Auf die numerische Behand­ lung der Optimierungsaufgabe mit Hilfe von Standard-Algorithmen wird groBer Wert gelegt. Das Buch entstand aus Vorlesungen fur Studenten nach dem Vor­ diplom, an die es sich auch wendet: An Elektrotechniker und Physiker sowie Informatiker und Mathematiker mit Interesse an der Technik. Miinchen, Marz 1989 Die Verfasser Widmung: Fur unsere beiden Frauen Antje und Moni Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 7 2 Filmwellenleiter 11 2.1 Strahlenoptische Niiherung .......... . 13 2.2 Wellenoptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2.1 Filmwellenleiter mit Stufenindex-Profil 21 2.2.1.1 Wellengleichung und Randwertproblem. 21 2.2.1.2 Moden............ 28 2.2.1.3 Cut-off-Bedingung ..... 38 2.2.1.4 EnergiefluB im Wellenleiter 40 2.2.2 Filmwellenleiter mit Gradientenprofil 42 2.3 Streifenwellenleiter . . . . . . . . . . . . . .

Der Studierende des Faches Mathematik steht häufig vor dem Problem: Wozu sind die mathematischen Begriffe, Sätze und Denkweisen gut, die in großer Vielzahl auf ihn ein stürmen? Wozu werden die Ergebnisse gebraucht, flir welche weiteren überlegungen sind sie wiederum Grundlage und Ausgangspunkt? Die vorliegende Einführung in die Analysis hat zum Ziel, dem Leser bei diesen Frage stellungen zu helfen, ihm Beweggründe flir die wichtigsten Grundbegriffe, Ansätze und Ziele der Differential- und Integralrechnung zu vermitteln. Als Schlüsselproblem erweist sich dabei die Frage nach den Lösungen von Gleichungen und Gleichungssystemen. Hiervon ausgehend werden Abbildungsbegriff, Konvergenzbe griff (Iteration), Stetigkeit (Lösungsexistenz ), Differenzierbarkeit (Newton-Verfahren) und vieles mehr erschlossen. Andere Inhalte wurzeln auf natürliche Weise in geometri schen Fragestellungen, wie die Integralrechnung (Flächeninhaltsberechnung) und die trigonometrischen Funktionen (Entfernungsbestimmung). Der Leser erhält damit eine Richtschnur in die Hand, mit der sich die Differential- und Integralrechnung überschau bar gliedert. Bei der Stoffauswahl wurden Inhalte bevorzugt, die einerseits breiten Anwendungsbezug haben, andererseits vorbereitend zu Begriffsbildungen der höheren Analysis hinführen, insbesondere zur Funktionalanalysis, wie z. B. der Banachsche Fixpunktsatz, der Bor suksche Antipodensatz, der Brouwersche Fixpunktsatz, das Newton-Verfahren für mehrere Veränderliche und anderes mehr. Die numerischen Verfahren, die in diesem Buch behandelt werden, lassen sich bequem auf Kleinrechnern durchführen, wie sie heute in der Schule vielfach verwendet werden. Schließlich sei erwähnt, daß bei der Einführung der Konvergenz wie auch der Stetigkeit einneuer Weg beschritten wird.

Hohe Schadenssummen durch Windwirkung, bedingt durch eine geänderte Bauweise, haben sowohl die Forscher als auch die Normungsinstitute wachgerüttelt. Die Folge ist eine Unzahl von Publikationen und die längst fällige Neuauflage der einschlägigen Nor men. Damit wird nun der Praktiker konfrontiert, der bei seiner Ausbildung über den Wind und seine Wirkungen nur wenig oder vielleicht sogar nichts gehört hat. über die Grundlagen der Strömungsmechanik werden nur die Bauingenieure in dem Fach Hydrau lik informiert, während es bei den Architekten keine einschlägige Ausbildung gibt. Das vorliegende Buch soll dem in der Praxis tätigen Ingenieur vor allem eine Hilfe bei der Anwendung der Normvorschriften und bei der Lösung von allen ingenieurtechnischen Problemen sein, die mit dem Wind im Zusammenhang stehen. Es soll weiter die Grund lagen der Strömungsmechanik und der Meteorologie soweit vermitteln, als dies für ein Verständnis der Vorgänge notwendig ist. Die mathematischen Beschreibungen werden nach Möglichkeit einfach gehalten. Das Schwergewicht des Buches liegt bei der Anwen dung, die anhand von zahlreichen numerisch durchgerechneten Beispielen demonstriert wird.

Der vorliegende Band richtet sich sowohl an Studenten der Mathematik, Mechanik, N atur- und Ingenieurwissenschaften als auch an Ingenieure, Mathe matiker und Naturwissenschaftler in der Praxis und an Hochschulen. Er soll mit einem neuen Konzept der Behandlung stochastischer Systeme vertraut machen. Es basiert auf der Theorie schwach korrelierter Funktionen, deren theoretische Behandlung und Analyse Gegenstand der anwendungsorientierten Forschung der Verfasser sind. Die Erfahrungen aus Anwendungen in Drittmittelprojekten und der Realisie rung von Kompaktkursen vor Postgradualstudenten und Vertretern der Praxis sind für uns Anlaß gewesen, die theoretischen Ergebnisse aufzubereiten und an praxisnahen Beispielen zu demonstrieren. Eine geschlossene, streng mathemati sche Darstellung der zugrundeliegenden Theorie liegt mit der Monographie VOM SCHEIDT [32] vor. Ein einführendes Beispiel im ersten Kapitel soll das Gesamtanliegen dieses Buches umreißen: Vorstellung eines geschlossenen Konzeptes von der mathematischen Model Iierung des technischen Problems und der stochastischen Eingangs/unktionen über die analytische Lösung und numerische Simulation der resultierenden Di/ /erentialgleichungssysteme bis zur stochastischen Analyse der Ausgangs/unktio nen. Im ersten Kapitel werden dazu die benötigten Grundlagen der stochastischen Funktionen und der Theorie schwach korreliert er Funktionen bereitgestellt. Der Schwerpunkt liegt hier und in den weiteren Kapiteln auf einer lehrbuchgemäßen Darstellung. Notwendige Vorkenntnisse zu den Grundlagen der Stochastik wer den in Form eines kurzen Repetitoriums bereitgestellt. Im zweiten Kapitel wird die auf der Theorie schwach korreliert er Funktionen basierende Methode vorgestellt, reale Eingangsfunktionen dynamischerSysteme mathematisch zu modellieren, zu approximieren und zu simulieren.

Dynamische Systeme konnen durch mathematische Gleichungen modelliert werden, die eine eindeutige V orschrift zur Berechnung der zeitlichen Entwicklung des Systemzustandes darstellen, so daB die Bewegung des Systems vollstandig durch den Anfangs­ zustand bestimmt ist. Trotz dieser Determiniertheit stellt sich bei der numerischen Berechnung der Losungskurven oder bei Beob­ achtungen in realen Experimenten haufig hera us, daB sich der Zustand des Systems in au Berst komplizierter und unregelmaBiger Weise mit der Zeit andert und daB eng benachbarte Startbedin­ gungen nach endlicher Zeit zu vollig unterschiedlichen Zustanden fiihren konnen. Man spricht dann von chaotischen Bewegungen bzw. nennt das betreffende System chaotisch. In den letzten 10 bis 15 Jahren sind betrachtliche Fortschritte im Verstandnis der Dynamik nichtlinearer deterministischer Systeme gemacht worden. Das Konzept des chaotischen (oder seltsamen) Attraktors, verbunden mit den Vorstellungen von fraktaler Dimension, Entropie und universellen Bifurkations­ sequenzen auf dem Wege zum Chaos, hat zu einem neuen Denken beziiglich dieser Systeme gefiihrt. Dabei ist u. a. auch klar gewor­ den, daB Chaos nicht einfach mit Unordnung oder Regellosigkeit gleichgesetzt werden kann. An die Stelle von Gleichformigkeit .oder Periodizitat treten andere Ordnungsbegriffe, die eng mit Selbstahnlichkeit, Skaleninvarianz und Universalitat verbunden sind. Einen wesentlichen Beitrag zu diesem neuen Verstandnis hat die moderne Rechentechnik geleistet. Da Chaos untrennbar mit Nichtlinearitat verbunden ist, deren mathematische Behandlung sich in den meisten Fallen als auBerordentlich schwierig erweist, konnten viele interessante Fragestellungen und teilweise sehr all­ gemeine GesetzmaBigkeiten chaotischer Bewegungen erst auf der Basis ausgedehnter numerischer Berechnungen formuliert bzw.

Das schnelle Lösen großer, schwachbesetzter linearer und nichtlinearer Glei chungssysteme ist in den letzten Jahren immer mehr in den Brennpunkt des Interes ses gerückt. Der Grund hierfür ist vor allem in der wachsenden Verflechtung von Numerischer Mathematik und Anwendungsbereichen zu suchen. So sind etwa die Probleme in der Numerischen Strömungsmechanik auch bei Verwendung der mod ernsten Computertechnologie kaum noch mit bisher oft üblichen Hau-Ruck-Metho den zu lösen. Inzwischen existieren verschiedene Klassen schneller und moderner Verfahren zur Lösung der hierbei auftretenden großen Gleichungssysteme. Zu nen nen sind insbesondere Mehrgittertechniken und die Familie der Verfahren der kon jugierten Gradienten. Beide Verfahrenstypen lassen sich jedoch nicht ohne substan tiellen Effizienzverlust auf singulär gestörte Systeme anwenden. Daher ist es ein wichtiges Anliegen der gegenwärtigen Forschung, robuste Verfahren zu konstruie ren, mit denen ein möglichst großer Anwendungsbereich effizient behandelt werden kann. In diesem Buch wird nun mit den filternden Zerlegungen eine neue Klasse von Verfahren für große Gleichungssysteme vorgestellt. Filternde Zerlegungen lassen sich in Kombination mit klassischen Methoden, also etwa als Glätter in Mehrgitter verfahren oder als Vorkonditionieret für cg-artige Verfahren einsetzen, sie dienen aber auch als Grundlage für ein eigenständiges Verfahren (Glätter-Korrektor-Ver fahren) zum Lösen großer Gleichungssysteme. Dieses Glätter-Korrektor-Verfahren ist dem Mehrgitterverfahren nachempfunden, ist jedoch rein algebraisch konstruiert und braucht daher nur ein Gitter. Das so entstandene Verfahren ist von nahezu opti maler Effizienz, die bei Problemen mittlerer Größe mit derjenigen eines entspre chenden Mehrgitterverfahrens vergleichbar ist. Ferner ist es sehr vielseitig und hat gute Robustheitseigenschaften, wie entsprechende Tests zeigen.

Das vorliegende WTB stellt eine Einführung in die Theorie der asymptotischen Methoden zur Lösung von Differentialgleiehungsproblemen dar. Mit den Grund fragen dieser Problematik beschäftigte man sich bereits in der zweiten Hälfte des vorigen Jahrhunderts. In den letzten 20 Jahren haben wichtige Anwendungsfälle der Physik und Technik das Studium der asymptotischen Methoden wieder in den Mittelpunkt des Interesses ge rückt und Anlaß zur Ausarbeitung einer nunmehr an wendungsreifen Theorie gegeben. Zur stärkeren Nutzung dieser Methoden kommt es gegenwärtig darauf an, sie in ihren Grundzügen einem breiteren Kreis von Anwendern zugänglich zu machen. Diese Aufgabe soll das WTB er füllen. Es wendet sich daher vorwiegend an in der Praxis tätige Ingenieure, Physiker und Mathematiker. In der Ausbildung kann es zur Gestaltung von Seminaren dienen. Da die exakte Lösung von Differentialgleichungen nur in Sonderfällen gelingt, besitzen die Näherungsmethoden eine große Bedeutung. Im wesentlichen unterscheidet man numerische und asymptotische Näherungsmethoden. Bei der angenäherten Lösung von Differentialgleichungs problemen haben sich die numerischen Methoden im all gemeinen bewährt. Benutzt man sie jedoch zur approxi mativen Berechnung der Lösungen von Differential gleichungen in Umgebung von Singularitäten, so werden sie meistens instabil. Bei derartigen Problemen sind die asymptotischen Näherungsmethoden geeigneter. Aus methodischen Gründen wurde eine der Zielstellung dieses WTB entsprechende einfache Darstellung gewählt.

Vorwort Am Anlang war 1978 wurde VISICALC geboren, und seither sind die Tabel VISICALC lenkallrulationsprogramme (welch ein Wort!) unter uns. Bei VISICALC handelte es sich um ein groBes zweidimen sionales Gitter, dessen Spalten mit Hilfe von Buchstaben und dessen Zeilen mit Hilfe von Zahlen angesprochen wurden.An diesem Konzept hat sich bis heute nicht viel geandert- wohl aber an seiner Ausformung. AIle elektronische RechenbUitter oder Spreadsheets erlauben den Eintrag von Text, Zahlen und Formeln. Gerade die MOglichkeit, in einer Zelle eine Formel zu verstecken, die es erlaubt, benachbarte Zellen fast beliebig miteinander zu ver kniipfen, ist es, was Spreadsheets von kariertem Papier so wesentlich unterscheidet. Schon lange vor dem Auftauchen der Tabellenkalkulationen benutzten Mathematiker die Gitterstruktur beim numerischen Lasen von Differentialgleichungen. So loste man z.B. die Warmeleitungsgleichung dadurch, daB man die Flache, auf der man die Temperaturverteilung berechnen wollte, mit einem moglichst engen Gitter iiberzog. Die Temperatur in einer Zelle ergibt sich einfach als Mittelwert der Temperatu ren von vier Nachbarzellen. Spreadsheets sind Werkzeuge Dieses und viele iihnliche Beispiele, z.B. auch das llFE Spiel, zeigen, daB Spreadsheets ein natiirliches Werkzeug im Bereich der Naturwissenschaften sind. Tatsachlich werden sie in USA immer mehr in Unterricht und Forschung eingesetzt, die steigende Zahl der Spreadsheet-Publikationen beweist es.

Die programmtechnische Umsetzung effizienter Algorithmen entscheidet wesentlich dartiber, ob sich deren besondere Eigenschaften auch im Laufzeitverhalten des Programms widerspiegeln werden. Der Software-Entwickler bestimmt im allgemeinen mit der Auswahl seiner Programmelemente und dem globalen Programmablauf die notwendige Rechenzeit sowie die Qualitat der Resultate seines Programms und ob die Effizienz des Algorithmus im programmierten Overhead, den Rechenungenauigkeiten etc. wieder untergeht. Das vorliegende Buch nimmt sich dieser Thematik an und behandelt Programmiertechniken in Standard-Pascal. Der Einsatz der Sprachelemente wird unter verschiedenen Aspekten vorgesteHt, ein Hauptschwerpunkt liegt bei der Rekursion. Der sinnvoHe und effiziente Einsatz der Rekursion und die programmtechnischen Realisierungen sind Thema eines eigenen Kapitels. Gleichzeitig werden Beurteilungen aus der Sicht des Compilers vorge nommen. Die "Black Box" Compiler wird dem Programmentwickler dadurch trans parenter, daS Programmtechniken aus der Sicht des Compilers beurteilt und die daraus resultierenden charakteristischen Programmerkmale erlauert werden. Das Spektrum der Anwendungen ist breit gewiihlt und reicht von der Booleschen Algebra und der numerischen Mathematik (Gleichungssysteme, Differentiation, Integration) tiber die Codierungstheorie und Kryptographie bis hin zur graphischen Datenverarbeitung. Die Behandlung des mathematischen Teils ist ausftihrlich gehalten. Dem Charakter der Pro grammothek entsprechend gewinnt der Leser einen Einblick in die betreffenden Themen bereiche, so daS ihm beste Voraussetzungen fUr selbstandtge Programmentwicklungen gegeben sind. An dieser Stelle mochte ich mich bei Herm Prof. Dr. Oskar Hermann, Herm Peter Stede, dem Rechenzentrum der Universitat Heidelberg, Herm Klaus Staab, dem Leiter des Klinik rechenzentrums Heidelberg, sowie Herm Prof. Dr. Dr. Kohler, dem Herausgeber der Programmothek, fUr Anregungen fachlicher und technischer Art bedanken.

Mit den Programmen der offenen Software des Buches ist es möglich, die Ergebnisse der Kurven- und Flächtentheorie computergrafisch auf dem Bildschirm, dem Plotter oder einem postscriptfähigen Ausgabegerät darzustellen. Hierbei bedeutet der Begriff "offen", daß die Methoden der Software beliebig erweitert und somit auch auf andere allgemeine Probleme angewendet werden können. Die Software ist in objektorientierter Programmierung erstellt; vorausgesetzt wird Turbo Pascal in einer Version ab 5.5. Die Prozeduren und Methoden der Software werden stets parallel zur differentialgeometrischen Theorie entwickelt. Bei ihrer Beschreibung wird der zugehörige Quelltext mit aufgelistet. Die letzten drei Kapitel beschäftigen sich mit den numerischen Methoden, die zur Lösung verschiedender Probleme herangezogen worden sind sowie mit der Technik der Grafikausgabe und einer Übersicht sämtlicher Units und den vier wichtigen Grundobjekttypen. Die Ergebnisse der einzelnen Kapitel werden mit vielen gerechneten Beispielen und insgesamt 183 lauffähigen Programmen vertieft. Die entwickelten Prozeduren, Funktionen, Objekttypen und Objektmethoden sind in 29 Units abgelegt. In vielen Programmen werden zusätzlich durch kinematische Effekte die geometrische Bedeutung und das Konstruktionsprinzip der behandelten mathematischen Sachverhalte dargestellt.

Dieses Buch befaßt sich mit der mathematischen Analyse von dynamischen Prozes sen, deren zeitliche Entwicklung nicht kontinuierlich fließend, sondern in diskreten Zeit schritten modelliert wird. In den Naturwissenschaften, den Ingenieurwissenschaften und den Wirtschaftswissenschaften wird häufig bei der Untersuchung dynamischer Vorgänge zunächst ein Modell in diskreter Zeit formuliert, also eine Differenzengleichung oder ein (zeit-) diskretes dynamisches System. Anschließend wird dann gewöhnlich durch einen Grenzübergang, bei dem die Länge eines Zeitschritts gegen Null strebt, das diskrete Modell in eine oder mehrere Differentialgleichungen verwandelt. Dieses Vorgehen, das besonders in der Physik sehr erfolgreich ist mit Ausstrahlungen bis hin in die Sozialwis senschaften, hat den großen Vorteil, daß sich dabei das hochentwickelte mathematische Instrumentarium der Differentialgleichungen und differenzierbaren dynamischen Syste me anzapfen läßt. Ein Nachteil liegt jedoch darin, daß für eine numerische Auswertung des Modells zum Zwecke der empirischen Überprüfung, das kontinuierliche Modell wie der in ein diskretes Modell zurückverwandelt werden muß. Das scheint nicht nur ein Umweg zu sein, insbesondere angesichts eines zunehmenden Einsatzes von Computern, sondern birgt auch zusätzliche Probleme, da es trotz gewisser Analogien keine systemati schen Übersetzungsregeln zwischen Differentialgleichungen und Differenzengleichungen gibt, vor allem nicht, wenn nichtlineare Vorgänge im Spiel sind. Auch aus diesem Grund bildet sich mehr und mehr eine Tendenz heraus, das erstellte diskrete Modell direkt mit Methoden der Differenzengleichungen und diskreten dynamischen Systeme zu untersu chen; dieses Vorgehen ist etwa in der Biologie und derÖkonomie seit jeher gebräuchlicher als z. B. in der Physik.

"Die Berechnung elektrischer Ausgleichsvorgänge ist sowohl bei Studenten als auch bei ausgebildeten Praktikern eine meist unbeliebte Beschäftigung. Der Grund dafür ist wohl, daß die dazu notwendige Mathematik nicht ganz anspruchslos ist. Dazu kommt, daß Grundlagenlehrbücher diesen Stoff notgedrungen sehr knapp anbieten und die einschlägigen Monographien für Anfänger viel zu schwierig sind. Um hier Abhilfe zu schaffen, haben sich ein Mathematiker und ein Elektrotechniker zu sammengetan und, gestützt auf langjährige Vorlesungserfahrung, eine wirklic. h elementare Einführung verfaßt. Es werden in diesem Buch parallel - die klassische Methode der Lösung von Differentialgleichungen, - die elegante Methode der Laplace-Transformation und - die moderne Methode der numerischen, digitalelektronischen Berechnung dargestellt. Insbesondere von der letzten Methode erwarten wir bei dem heutigen Stand der Technik der programmierbaren Taschenrechner eine stetig steigende Bedeutung für die Praxis. Es wurden aber alle drei Methoden soweit behandelt, wie sie ein Student der Elektrotechnik an Hoch- und Fachhochschule beherrschen muß. Auch Studenten ver wandter Fachrichtungen wollen wir ansprechen. " Die vorstehenden Zeilen stammen aus dem Vorwort der ersten und zweiten Auflage des Buches "Differentialgleichungen der Elektrotechnik". Sie gelten noch immer. Das vor liegende Buch ist eigentlich eine dritte Auflage, stellt aber eine vollständige Neubearbei tung dar und ist erweitert im Hinblick auf die neuen BASIC-fähigen Taschencomputer und die sowohl BASIC-als oftmals auch Pascal-fähigen Personalcomputer. Obwohl wir die Programme didaktisch aufbereitet haben, ist doch eine Vorkenntnis in BASIC und insbesondere Pascal notwendig.

Die Geschichte der Differentialgeometrie ist eng mit der Entwicklung der Infini tesimalrechnung und der analytischen Geometrie einerseits, mit der Geodäsie, der Kartographie und der Physik andererseits verknüpft. Sie ist zwar durch Idealisierung der Erfahrungswelt entstanden, hat sich aber im Laufe der letzten beiden Jahrhunderte zu einer deduktiven, mit strengen Beweisen arbeitenden Wissenschaft herausgebildet. Heute sind zahlreiche Disziplinen der Mathema tik, aber auch der Physik und Technik mit differentialgeometrischen Begriffs bildungen durchsetzt. Diese interdisziplinäre Verzahnung -man denke etwa an die Darstellung geometrischer Objekte mit den Methoden der Numerik und Informatik (CAGD) oder an die Geometrisierung der modernen Physik -hält unvermindert an. Mit dem vorliegenden Buch wird einem möglichst großen Interessentenkreis eine brauchbare Grundlage für eine klassisch-und anwendungsorientierte Kurven und Flächentheorie geliefert. In der Differentialgeometrie kann ein Studieren der die in der Differential- und Integralrechnung sowie in der analytischen Geometrie erworbenen Techniken anwenden und geometrische Vorstellungen entwickeln. Dem Leser sollen Brücken zwischen Theorie und Praxis aufgezeigt werden. Im Vordergrund stehen die lokale Differentialgeometrie und ihre An wendungsmöglichkeiten, wobei lokale und globale Aspekte klar unterschieden werden. Gelegentlich wird dem technisch Wichtigen der Vorrang vor dem geo metrisch Wertvollen eingeräumt. Gleichwohl sollen die technischen Anwendun gen nicht von den geometrischen Grundgedanken ablenken. Differentialgeo metrie wird eben nicht nur als Grundlage technischer Bildung, sondern auch wegen ihres Stellenwertes im Rahmen der Mathematik und ihrer kulturellen Bedeutung betrieben.

Die mathematische Modeliierung von physikalisch-technischen sowie auch von biologischen Prozessen führt häufig auf Anfangswertprobleme für Systeme gewöhnlicher Differentialgleichungen, retardierter Diffe rentialgleichungen, Algebra-Differentialgleichungen vom Index 1 sowie auf Anfangs-Randwertprobleme parabolischer Differentialgleichungen. Ihre analytische Lösung ist i.allg. nicht möglich. um quantitative Aussagen über das Verhalten dieser Systeme zu bekommen, sind daher numerische Methoden für die Lösung der vorliegenden Aufgabenklassen von zentraler Bedeutung. Viele der gewöhnlichen und retardierten Differentialgleichungssy steme besitzen Lösungskomponenten mit stark unterschiedlichem Wachs tumsverhalten. Man spricht in diesem Fall von steifen Systemen. Stei fe Differentialgleichungssysteme entstehen auch bei der Behandlung parabolischer Anfangs-Randwertprobleme mittels der longitudinalen Li nienmethode. Algebra-Differentialgleichungssysteme können als Grenz fall singulär gestörter Systeme (spezielle steife Systeme) betrachtet werden. Der numerischen Behandlung steifer Systeme wurde in den letzten 30 Jahren große Aufmerksamkeit gewidmet. Obwohl seit ungefähr 15 Jahren für derartige Probleme effiziente Software zur Verfügung steht, kön nen die Untersuchungen zu dieser Thematik bis heute nicht als abge schlossen angesehen werden. Die Hauptursache hierfür besteht darin, daß das Problem der Steifheit sehr vielschichtig sein kann und die verwendeten Diskretisierungsmethoden nicht in allen Fällen zufrieden stellend arbeiten. Numerische Methoden zur Lösung von Algebra Differentialgleichungen werden seit Beginn der 70er Jahre und ver stärkt seit den BOer Jahren untersucht. Steife Systeme stellen hohe Anforderungen an die Stabilität einer Diskretisierungsmethode. Explizite Runge-Kutta-Methoden sind aufgrund ihres begrenzten Stabilitätsgebietes für die Lösung derartiger Syste me nicht geeignet. Implizite Runge-Kutta-Methoden besitzen ausge zeichnete Stabilitätseigenschaften, erfordern aber in jedem Integra tionsschritt die Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme.

Das vorliegende Buch, als Lehrbuch neben einem Mathematik-Grundkurs für Ingenieurstudenten gedacht und angelegt, nimmt in der Reihe "Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaitier" eine zentrale Stellung ein. Einerseits wird beim Leser die Kenntnis der Differentialrechnung für Funktionen von einer reel len Variablen vorausgesetzt, und andererseits werden wichtige, im Studienablauf an späterer Stelle liegende Gebiete wie die gewöhnlichen und die partiellen Dif ferentialgleichungen, die Integralrechnung für Funktionen mehrerer Variabler, die Tensoranalysis und alle Gebiete der Optimierung unmittelbar vorbereitet. Durch seinen Charakter als Grundlagenwerk ist es auch für Studenten des Lehr amts an Realschulen und Gymnasien besonders geeignet. Der vorliegende Text ist aus den früheren Auflagen durch eine wesentliche Neubearbeitung hervorgegangen. Dabei wurde die Vertiefung der mathemati schen Allgemeinbildung als wichtiges Anliegen beibehalten, zugleich aber noch stärker auf ingenieurwissenschaitliche Anwendungen orientiert. Unter anderem wird eingegangen auf singuläre Punkte von Nivea.ulinien, das Newton-Verfahren zur numerischen Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme sowie auf orthogonale krummlinige Koordinaten und ihre Anwendung auf strömungsmechanische Pro bleme. Die Verfasser danken Frau M. Ga.ede herzlich für die mit großer Sorgfalt vor genommene Übertragung des Manuskripts in eine reproduktionsreife Druckvor lage. Dem Verlag sei für die gute Zusammenarbeit aufrichtig gedankt.

Die Tensorrechnung entstand Anfang des 19. Jahrhunderts. Sie wird vor al­ lem in der Physik und im engeren Sinn in der Kontinuumsmechanik, in der auch die nicht-newtonschen Fluide mit behandelt werden, angewendet. Der Tensorkalkül ist eine wichtige Methode, um physikalisch-technische Vorgänge mathematisch zu formulieren. Mit ihm lassen sich die Grundgleichungen der Physik universell und für die numerische Behandlung geeignet darstellen. Die physikalischen Vorgänge sind dabei unabhängig von der Wahl des benutzten Koordinatensystems. Das Koordinatensystem paßt man oft den Rändern des zu lösenden Problems an. Der Tensorkalkül eignet sich auch zur Beschreibung von Stoffgleichungen [Bac83] der Materialien und Fluide, die sich nicht linear und nicht isotrop ver­ halten und bei denen große Verformungsgeschwindigkeiten oder Verformungs­ beschleunigungen auftreten. Während in der Physik die tensorielle Darstellung der Gleichungen schon seit langem üblich ist, setzt sie sich in der technischen Fachliteratur gegenwärtig erst durch. Das vorliegende Buch geht auf Anregungen zurück, die ich zum einen aus Vorle­ sungen meines verehrten Lehrers, Herrn Prof. em. Dr. W. Schultz-Piszachich, und zum anderen aus meiner eigenen Lehrtätigkeit an der Otto-von-Guericke­ Universität Magdeburg erhielt. Als Einführung in die Tensorrechnung erhebt es selbstverständlich keinen Anspruch auf Vollständ.igkeit. Auf umfangreiche technische Anwendungen der Tensorrechnung wurde bewußt verzichtet; im Li­ teraturverzeichnis wird der Leser auf weitergehende und umfassendere Darstel­ lungen verwiesen.

"Die Berechnung elektrischer Ausgleichsvorgänge ist sowohl bei Studenten als auch bei ausgebildeten Praktikern eine meist unbeliebte Beschäftigung. Der Grund dafür ist wohl, daß die dazu notwendige Mathematik nicht ganz anspruchslos ist. Dazu kommt, daß Grundlagenlehrbücher diesen Stoff notgedrungen sehr knapp anbieten und die einschlägigen Monographien für Anfänger viel zu schwierig sind. Um hier Abhilfe zu schaffen, haben sich ein Mathematiker und ein Elektrotechniker zu sammengetan und, gestützt auf langjährige Vorlesungserfahrung, eine wirklic. h elementare Einführung verfaßt. Es werden in diesem Buch parallel - die klassische Methode der Lösung von Differentialgleichungen, - die elegante Methode der Laplace-Transformation und - die moderne Methode der numerischen, digitalelektronischen Berechnung dargestellt. Insbesondere von der letzten Methode erwarten wir bei dem heutigen Stand der Technik der programmierbaren Taschenrechner eine stetig steigende Bedeutung für die Praxis. Es wurden aber alle drei Methoden soweit behandelt, wie sie ein Student der Elektrotechnik an Hoch- und Fachhochschule beherrschen muß. Auch Studenten ver wandter Fachrichtungen wollen wir ansprechen. " Die vorstehenden Zeilen stammen aus dem Vorwort der ersten und zweiten Auflage des Buches "Differentialgleichungen der Elektrotechnik". Sie gelten noch immer. Das vor liegende Buch ist eigentlich eine dritte Auflage, stellt aber eine vollständige Neubearbei tung dar und ist erweitert im Hinblick auf die neuen BASIC-fähigen Taschencomputer und die sowohl BASIC-als oftmals auch Pascal-fähigen Personalcomputer. Obwohl wir die Programme didaktisch aufbereitet haben, ist doch eine Vorkenntnis in BASIC und insbesondere Pascal notwendig.

Dieses Lehrbuch ist eine einführende Darstellung der Übertragung digitaler Signale über gestörte Kanäle. Schwerpunkt ist die physikalisch-anschauliche und zugleich mathematisch-fundierte Erklärung der Übertragung im Basisband. Dazu werden notwendige Grundlagen der Signal- und Systemtheorie rekapituliert und funktionale Abhängigkeiten bei der Basisbandübertragung herausgearbeitet, um ein Verständnis der grundlegenden Probleme bei der Nachrichtenübertragung zu ermöglichen. Als wichtiger Übertragungskanal wird das Kupferkabel betrachtet und seine übertragungstechnischen Eigenschaften werden mit klassischen elektrotechnischen und systemtheoretischen Methoden beschrieben. Die zuvor beschriebenen Basisbandverfahren werden zur Übertragung über den linear verzerrenden Kanal eines Kupferkabels angewendet und Möglichkeiten der Filterung und Entzerrung erläutert. Dem einführenden Charakter des Lehrbuches entsprechend werden jeweils ausführliche Herleitungen angegeben sowie numerische Beispiele und eine Vielzahl von Abbildungen verwendet.

Dieses erfolgreiche Lehrbuch vermittelt die Grundlagen der Fluidmechanik und deren praxisbezogene Anwendung, geht jedoch über eine Einführung hinaus. Die strömungstechnischen Phänomene werden beschrieben und mathematisch exakt oder - falls dies nicht möglich - näherungsweise dargestellt. Sie werden durch Messwerte unterstützt und weitgehend physikalisch begründet. Zum besseren Verständnis sind die Erscheinungen der Fluidmechanik ausgehend von der Festkörpermechanik veranschaulicht. Dabei werden Analogien zu anderen Fachgebieten aufgezeigt. Dargestellt sind die Statik und Dynamik sowohl der Flüssigkeiten als auch der Gase und Dämpfe. Bei der Gasdynamik sind Unterschall- und Überschallströmungen einbezogen. Eine Einführung in die moderne numerische Strömungsmechanik - die Computational Fluid Dynamics (CFD) - ergänzt den Stoff. Hinzu kommen 100 Übungsbeispiele mit kompletten Lösungen. Der Anhang enthält technisch wichtige Tabellen sowie Diagramme für Stoffgrössen und Beiwerte der Strömungstechnik. In der 11. Auflage wurden Inhalte überarbeitet und das Werk wurde in ein neues Layout überführt.

1.1 Zielsetzung des Buchs Dieses Buch ist als EinfUhrung in die Verarbeitung numerischer Daten in grafischer und tabellarischer Form mit Hilfe eines Mikrocomputers yom Typ APPLE II gedacht. Es wendet sich an zwei Gruppen von Interes­ senten. Zum einen bietet es Praktikern und Wissenschaftlern, deren Aufgabenbereiche sich mit den hier behandelten Problemstellungen iiber­ schneiden, eine Sammlung kompletter ProblemlOsungen. Das in diesem Buch vorgestellte Programmpaket deckt ein breites Spektrum der analyti­ schen Grafik ab, wie es nur von einigen wenigen kommerziellen Pro­ grammen geboten wird. Zum anderen regt es durch das besondere Thema "Computergrafik" und die ausfilhrliche Dokumentation der Programme zu eigenem Handeln a- ein Umstand, der besonders in der Lehre und beim Selbststudium zweck­ dienlich ist. Die vorausgesetzten Mathematikkenntnisse entsprechen in etwa dem be­ handelten Stoff bis zur Sekundarstufe II. Ferner sollten Grundkenntnisse der Programmiersprache BASIC vorhanden sein. 1.2 Vorgehensweise Das Buch ist in zwei Teile gegliedert, urn dem wei ten Anwenderkreis ge­ recht zu werden: Es besteht zum einen aus einem "Bedienerteil", der sich als Handbuch filr den mehr anwendungsorientierten Leser versteht und der durch Tips und Hinweise die Arbeit mit PLOTGRAF erIeichtern will. Der zweite Teil ab Kapitel 3 enthalt die softwaretechnischen Einzelheiten zusammen mit FluBdiagrammen, Programmausdrucken, und - je nach Be­ darf - kurzen Darstellungen mathematischer Grundlagen. Beide Teile des Buchs sind nach der Anzahl der Felder pro Datensatz untergliedert. Dieses Kriterium stellt keine wesentliche Einschrankung fUr den praktischen Gebrauch dar, erIeichtert aber die Suche nach L6sungen fUr bestimmte Problemstellungen.

Vorwort Am Anlang war 1978 wurde VISICALC geboren, und seither sind die Tabel VISICALC lenkallrulationsprogramme (welch ein Wort!) unter uns. Bei VISICALC handelte es sich um ein groBes zweidimen sionales Gitter, dessen Spalten mit Hilfe von Buchstaben und dessen Zeilen mit Hilfe von Zahlen angesprochen wurden.An diesem Konzept hat sich bis heute nicht viel geandert- wohl aber an seiner Ausformung. AIle elektronische RechenbUitter oder Spreadsheets erlauben den Eintrag von Text, Zahlen und Formeln. Gerade die MOglichkeit, in einer Zelle eine Formel zu verstecken, die es erlaubt, benachbarte Zellen fast beliebig miteinander zu ver kniipfen, ist es, was Spreadsheets von kariertem Papier so wesentlich unterscheidet. Schon lange vor dem Auftauchen der Tabellenkalkulationen benutzten Mathematiker die Gitterstruktur beim numerischen Lasen von Differentialgleichungen. So loste man z.B. die Warmeleitungsgleichung dadurch, daB man die Flache, auf der man die Temperaturverteilung berechnen wollte, mit einem moglichst engen Gitter iiberzog. Die Temperatur in einer Zelle ergibt sich einfach als Mittelwert der Temperatu ren von vier Nachbarzellen. Spreadsheets sind Werkzeuge Dieses und viele iihnliche Beispiele, z.B. auch das llFE Spiel, zeigen, daB Spreadsheets ein natiirliches Werkzeug im Bereich der Naturwissenschaften sind. Tatsachlich werden sie in USA immer mehr in Unterricht und Forschung eingesetzt, die steigende Zahl der Spreadsheet-Publikationen beweist es.

Viele Prozesse und Erscheinungen in Physik, Technik und anderen Wissen­ schaftsgebieten lassen sich mathematisch durch Differentialgleichungen beschrei­ ben. Wi.ngen dabei die gesuchten Funktionen nur von einer unabhangigen Va­ riablen ab, spricht man von gewohnlichen Differentialgleichungen. Das Gebiet der gewohnlichen Differentialgleichungen ist sehr umfangreich. Die­ ser Band gibt eine Einfiihrung in die wichtigsten Losungsmethoden sowie in einige theoretische Grundlagen, wobei stets besonderer Wert auf die Anwen­ dungen gelegt wird. Durch die Darstellungsweise solI das folgerichtige mathe­ matische Denken geschult werden. Auf Beweise und Beweisskizzen wird nur dann eingegangen, wenn es fiir das Verstandnis erforderlich erscheint. Zunachst werden lineare Differentialgleichungen und lineare Differentialglei­ chungssysteme insbesondere mit jeweils konstanten Koeflizienten behande1t. Es folgen nichtlineare Differentialgleichungen und ein numerisches Verfahren. Schliefilich werden Potenzreihenansiitze mit Verallgemeinerungen erortert und Einblicke in die Theorie der Rand- und Eigenwertaufgaben sowie der dynami­ schen Systeme vermittelt. In der allgemeinen Theorie werden die gesuchten Funktionen durch y(x) oder Yl(X), Y2(X), ... bezeichnet. In den Beispielen und Aufgaben treten jedoch haufig auch andere Bezeichnungen auf - z. B. x(t),

Nur in einfachen Fällen wird dem Programmierer eine Formel vor gegeben sein, mit der er ein Tabellenwerk für unterschiedliche Vorgaben erstellen soll. Wesentlicher ist das Programmieren von Abläufen, die sich nach bestimmten Vorschriften wiederhole- wie z. B. die iterativen und rekursiven Verfahren der numerischen Mathematik. Hierzu kann man sich in gängigen Fällen bereits be kannter Algorithmen bedienen, die dem Programmierer aus Veröffent lichungen unterschiedlicher Art zur Verfügung stehen. Aber auch diese Aufgabenstellungen erfordern in der Regel nur die Beherrschung der Programmiersprache an sich, und auf dem Weg zur Beherrschung der Sprache werden derartige übungen unumgäng lich sein. Dies gilt auch für den vorliegenden FORTRAN-Trainer. Dennoch muß man sich klar darüber sein, daß die Beherrschung der Sprache zwar für manche Studiengebiete ausreicht, daß aber das Endziel erst dann erreicht ist, wenn man in das algorithmische Denken hineingewachsen ist und auch dieses anwenden kann. So kann es Aufgabenstellungen geben, in denen der vorausgehende Denkpro zeß, wie man die Programmierung anzupacken hat, wesentlich mehr Zeit beansprucht als das Programmieren selbst. Meist sind dies Probleme, die kaum Formeln beinhalten und oft unscheinbar aus sehen, dann aber in der organisatorischen Umsetzung in ein Pro gramm erhebliche Schwierigkeiten mit sich bringen können. Wie beispielsweise können Sie n Damen derart auf ein (nxn)-Schach brett setzen, daß sie sich nicht gegenseitig schlagen können? Lassen Sie doch z. B.

Die nun vorliegende 3. Auflage wurde gründlich durchgesehen und alle bekannt gewordenen Druckfehler wurden beseitigt. Bis auf die Aktualisierung einiger Zahlenwerte und kleinerer redaktioneller Verbesserungen sind keine weiteren Änderungen vorgenommen worden. Dieses Lehrbuch beschränkt sich auf jenen Teilbereich der Hochspannungstechnik, der der Theorie und dem Hochspannungslaboratorium zugeordnet werden kann. Es wendet sich somit vorwiegend an Studenten von Universitäten und Hochschulen, wird aber auch für den in der Praxis stehenden Ingenieur eine wertvolle Arbeitshilfe sein. Zunächst werden Kenntnisse über das elektrische Feld mit einfachen mathematischen Mitteln angeboten und grafische wie auch numerische Methoden beschrieben und in Beispielen erläutert. Im weiteren werden Durchschlagsmechanismen in gasförmigen, flüssigen und festen Stoffen sowie die Erzeugung und Messung hoher Spannungen behandelt. Die Hochspannungsprüfung unter Laborbedingungen und ein Kapitel über Überspannungen und Wanderwellen beschliessen das Buch.